Conversor de frações binárias

Frações binárias estendem os inteiros binários para o domínio de quantidades não inteiras usando valores posicionais que são potências negativas de dois. Assim como o sistema decimal atribui as posições à direita do ponto decimal a décimos (10⁻¹), centésimos (10⁻²), milésimos (10⁻³) e assim por diante, o sistema binário atribui essas mesmas posições a metades (2⁻¹ = 0.5), quartos (2⁻² = 0.25), oitavos (2⁻³ = 0.125), dezesseis avos (2⁻⁴ = 0.0625) e assim por diante. Cada bit à direita do ponto binário representa uma dessas potências decrescentes de dois. Converter uma fração binária para decimal é simples. Separe o número no ponto binário. Converta a parte inteira pelo método padrão: o bit mais à direita é 2⁰, o seguinte é 2¹, e assim por diante para a esquerda. Na parte fracionária, o bit mais à esquerda após o ponto binário é multiplicado por 2⁻¹, o seguinte por 2⁻² e cada bit posterior por potências negativas sucessivas. Some todas as contribuições para obter o valor decimal exato. Por exemplo, 101.101 em binário é (1×4) + (0×2) + (1×1) + (1×0.5) + (0×0.25) + (1×0.125) = 5 + 0.5 + 0.125 = 5.625. Converter uma fração decimal para binário exige dois procedimentos separados. A parte inteira é convertida por divisões repetidas por 2, registrando os restos. A parte fracionária é convertida por multiplicações repetidas por 2: multiplique a fração por 2, registre a parte inteira do resultado (0 ou 1) como o próximo dígito binário e continue com a parte fracionária restante. Repita até que a fração se torne zero ou até atingir a precisão desejada. Para 5.625: inteiro 5 = 101₂; fração 0.625 × 2 = 1.25 → bit 1; 0.25 × 2 = 0.5 → bit 0; 0.5 × 2 = 1.0 → bit 1; a fração chega a zero, então o resultado é 101.101₂. Um ponto crítico é que nem todas as frações decimais têm representações binárias finitas. Assim como 1/3 não pode ser escrito como decimal finito, muitas frações decimais simples — incluindo 0.1, 0.2 e 0.3 — exigem infinitos bits binários para serem representadas exatamente. Essa é a causa principal dos erros de arredondamento de ponto flutuante em computadores. A configuração de precisão deste conversor controla quantos bits fracionários são calculados; aumentá-la produz uma aproximação mais próxima, mas pode nunca gerar um resultado exato para frações não terminantes. Frações binárias são usadas amplamente na computação. O padrão IEEE 754 de aritmética de ponto flutuante codifica números de precisão simples e dupla como frações binárias com um bit 1 inicial implícito e um expoente enviesado. Processadores digitais de sinais representam dados de áudio e imagem como frações binárias de ponto fixo chamadas números em formato Q. Entender como valores decimais se mapeiam para frações binárias é essencial para quem escreve código de baixo nível, trabalha com sistemas embarcados ou depura problemas de precisão numérica em software.