Calculadora de valores singulares - SVD

A Decomposição em Valores Singulares (SVD) é uma das fatorações mais importantes da álgebra linear. Para qualquer matriz real m×n A, a SVD expressa A como A = UΣV^T, onde U é uma matriz ortogonal m×m, Σ é uma matriz diagonal m×n com entradas não negativas na diagonal e V é uma matriz ortogonal n×n. As entradas diagonais σ₁ ≥ σ₂ ≥ … ≥ 0 de Σ são os valores singulares de A. Os valores singulares são sempre números reais não negativos, mesmo quando a matriz original contém entradas negativas ou estrutura complexa. Eles são determinados de forma única pela matriz — ao contrário dos vetores U e V, que podem não ser únicos quando os valores singulares se repetem. O número de valores singulares não nulos é igual ao posto da matriz, que mede a dimensão do espaço coluna (o conjunto de todas as saídas possíveis da transformação linear representada por A). A relação entre SVD e autovalores é precisa: os valores singulares de A são as raízes quadradas dos autovalores da matriz simétrica semidefinida positiva A^T·A (ou, equivalentemente, A·A^T para os vetores singulares à esquerda). Esta calculadora calcula A^T·A e aplica o algoritmo de autovalores de Jacobi — um método iterativo que zera os elementos fora da diagonal de uma matriz simétrica por meio de uma sequência de rotações ortogonais chamadas rotações de Givens — para encontrar seus autovalores e então extrair suas raízes quadradas. O maior valor singular σ₁ é igual à norma espectral (também chamada de norma 2 ou norma de operador) da matriz — o maior fator pelo qual a matriz pode esticar um vetor unitário. A norma de Frobenius é a raiz quadrada da soma de todos os valores singulares ao quadrado e também é igual à raiz quadrada da soma de todos os elementos da matriz ao quadrado. Essas normas têm importância prática: a norma de Frobenius é a medida mais natural da energia total de uma matriz, enquanto a norma espectral controla a sensibilidade a perturbações. O número de condição κ = σ₁/σₙ (razão entre o maior e o menor valor singular) quantifica quão bem condicionada a matriz é para resolver sistemas lineares. Um número de condição próximo de 1 significa que o sistema é bem condicionado e fácil de resolver com precisão. Um número de condição muito grande — por exemplo, acima de 10⁶ ou 10¹² — sinaliza um sistema mal condicionado, em que pequenas perturbações na entrada podem causar grandes mudanças na solução, uma fonte comum de instabilidade numérica em computação científica e aprendizado de máquina. A SVD tem uma ampla gama de aplicações. Em ciência de dados, a Análise de Componentes Principais (PCA) — a principal ferramenta de redução de dimensionalidade — é matematicamente equivalente a calcular a SVD da matriz de dados centralizada. Os componentes principais são os vetores singulares à direita V, e a variância explicada por cada componente é proporcional ao quadrado do respectivo valor singular. Em processamento e compressão de imagens, manter apenas os k maiores valores singulares e seus vetores associados produz uma aproximação de posto k da matriz da imagem que minimiza o erro na norma de Frobenius entre todas as matrizes de posto k — esse é o teorema de Eckart-Young. Em sistemas de recomendação (filtragem colaborativa), a fatoração matricial via SVD é usada para prever avaliações de usuários para itens não vistos. Em engenharia, a pseudoinversa A† = VΣ†U^T fornece a solução de mínimos quadrados de norma mínima para sistemas superdeterminados ou subdeterminados, o que é crítico em robótica, teoria de controle e processamento de sinais. Para esta calculadora, matrizes de até aproximadamente 10×10 são tratadas de forma confiável pelo algoritmo de Jacobi. Matrizes muito grandes ou matrizes com muitos valores singulares quase duplicados podem perder alguma precisão devido ao arredondamento acumulado de ponto flutuante, mas os resultados são precisos em pelo menos seis algarismos significativos para entradas típicas.