Calculadora de produto tensorial

O produto tensorial, também chamado de produto externo no contexto de vetores, é uma operação fundamental da álgebra linear que recebe dois vetores e produz uma matriz. Dado um vetor u com m componentes e um vetor v com n componentes, seu produto tensorial u ⊗ v é uma matriz m × n em que o elemento da linha i e coluna j é uᵢ multiplicado por vⱼ. Isso contrasta fortemente com o produto escalar, que reduz dois vetores a um único escalar, ou com o produto vetorial, que se aplica apenas a vetores tridimensionais e produz outro vetor. Matematicamente, se u = [u₁, u₂, …, uₘ] e v = [v₁, v₂, …, vₙ], então (u ⊗ v)ᵢⱼ = uᵢvⱼ para todo par válido (i, j). O cálculo tem complexidade de tempo O(mn), o que o torna eficiente até para vetores moderadamente grandes. O produto tensorial é bilinear — escalar qualquer um dos vetores escala o resultado pelo mesmo fator, e ele distribui sobre a adição de vetores. O produto tensorial não é comutativo: u ⊗ v e v ⊗ u geralmente são matrizes diferentes (uma é m × n, a outra n × m), a menos que m = n e exista alguma relação especial. O primeiro vetor sempre determina as linhas, e o segundo sempre determina as colunas. Essa assimetria é especialmente importante em física e aprendizado de máquina, onde a ordem carrega significado físico ou semântico. Na mecânica quântica, os produtos tensoriais são indispensáveis para descrever sistemas compostos. Quando dois sistemas quânticos são combinados, o espaço de estados do sistema composto é o produto tensorial dos espaços de estados individuais. Por exemplo, um sistema de dois qubits tem um espaço de estados de 4 dimensões que é o produto tensorial de dois espaços de qubit de 2 dimensões. O emaranhamento quântico surge exatamente quando um estado composto não pode ser escrito como um simples produto tensorial de estados individuais. Em aprendizado de máquina e ciência de dados, produtos tensoriais (e suas generalizações de ordem superior, chamadas tensores) sustentam o mecanismo de atenção nos modelos Transformer, as operações de cruzamento de recursos em sistemas de recomendação e as convoluções separáveis no processamento de imagens. Um kernel de desfoque gaussiano, por exemplo, é o produto tensorial de um filtro gaussiano horizontal 1-D com um filtro gaussiano vertical 1-D, permitindo um cálculo separável eficiente. No processamento de sinais, representar filtros multidimensionais como produtos tensoriais de filtros 1-D permite economias computacionais significativas. A representação em vetor achatado produzida por esta calculadora é especialmente útil quando o resultado precisa ser passado para uma operação subsequente que espera uma entrada 1-D, como uma camada totalmente conectada de uma rede neural.