Calculadora de número harmônico

O n-ésimo número harmônico é a soma finita H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n. Ele parece simples, mas aparece em uma variedade surpreendentemente ampla de temas: teoria dos números, análise, projeto de algoritmos, combinatória e probabilidade. Esta calculadora avalia a série diretamente, fornecendo a soma parcial exata para um inteiro positivo n escolhido. Ela também pode mostrar uma aproximação assintótica e, para valores menores, uma decomposição legível dos termos que formam a soma. Os números harmônicos crescem muito lentamente. Eles aumentam sem limite à medida que n cresce, mas o crescimento é logarítmico, não linear. Isso significa que H_10 fica apenas um pouco acima de 2,9, H_100 está em torno de 5,19, e até H_1,000,000 fica por volta de 14,39. Esse crescimento lento é uma das razões pelas quais os números harmônicos aparecem na análise de complexidade. Muitos algoritmos, especialmente os que envolvem divisões repetidas, comportamento de heaps ou expectativas do tipo coletor de cupons, produzem fórmulas com H_n ou expressões muito próximas. Uma aproximação clássica é H_n ≈ ln(n) + γ + 1/(2n), onde γ é a constante de Euler-Mascheroni. Essa estimativa melhora conforme n aumenta e costuma ser usada quando você quer intuição sem somar todos os termos manualmente. A calculadora mostra essa aproximação sob demanda para que você possa comparar a soma parcial exata com o modelo logarítmico. Para n moderados ou grandes, a aproximação geralmente é muito próxima. A opção de decomposição da soma é útil para ensinar, conferir tarefas e enxergar como a série é construída. Para facilitar a leitura, a calculadora mostra explicitamente apenas os primeiros vinte termos e depois adiciona reticências se n for maior. Isso mantém a saída prática sem perder a clareza da estrutura da série. Como os números harmônicos são definidos aqui apenas para inteiros positivos, a calculadora rejeita zero, valores negativos e não inteiros. Ela também limita n para manter o cálculo no navegador responsivo. Se você precisar estimar o comportamento para n muito grandes, a aproximação costuma ser a quantidade mais informativa. Quer você esteja estudando análise assintótica, valores esperados ou séries clássicas, o número harmônico é um objeto pequeno com enorme alcance matemático.