Calculadora de multiplicar radicais - Simplificar radicais
Multiplique duas expressões radicais no formato a√x e b√y e obtenha o resultado totalmente simplificado. Fatora automaticamente quadrados perfeitos.
Calculadora de multiplicar radicais
Digite os coeficientes e os radicandos das duas expressões radicais para calcular e simplificar o produto.
Primeiro radical (a√x)
Segundo radical (b√y)
Sobre a calculadora de multiplicar radicais
Uma expressão radical contém um símbolo radical (√) aplicado a um radicando. A raiz quadrada √x representa o número não negativo cujo quadrado é igual a x. Ao multiplicar duas expressões radicais, combinamos a regra do produto de radicais com a aritmética dos coeficientes para produzir um resultado simplificado.
A regra do produto de radicais diz que √a × √b = √(a×b) para quaisquer números reais não negativos a e b. Quando os radicais têm coeficientes, a regra completa para as expressões a√x e b√y é: a√x × b√y = (a×b)√(x×y). Os coeficientes externos são multiplicados entre si, e os radicandos são multiplicados sob um único símbolo radical.
Depois de multiplicar, o resultado é simplificado fatorando qualquer quadrado perfeito do radicando combinado. Um quadrado perfeito é um inteiro que é o quadrado de outro inteiro: 1, 4, 9, 16, 25, 36 e assim por diante. Se o radicando combinado for k² × m, com m sem fator de quadrado perfeito maior que 1, então √(k²×m) = k√m, e k é retirado do radical e multiplicado pelo coeficiente. Por exemplo, 3√2 × 2√8 = 6√16 = 6×4 = 24, já que √16 = 4 e o radicando simplifica para 1.
Casos especiais aparecem com frequência. Quando x = y (os dois radicandos são iguais), o produto a√x × b√x = ab√(x²) = ab×x, que é um número inteiro sem sinal radical. Essa situação sustenta a técnica de multiplicar uma expressão radical por seu conjugado para eliminar radicais de um denominador. Quando o radicando combinado já é um quadrado perfeito, o resultado é sempre um número inteiro.
A multiplicação de radicais aparece em toda a matemática e na física. Em geometria, a diagonal de um retângulo com lados √a e √b é encontrada pelo teorema de Pitágoras, que envolve multiplicar e simplificar radicais. Em equações quadráticas, o discriminante √(b²−4ac) muitas vezes precisa ser simplificado por fatoração. Em trigonometria, muitos valores exatos de seno e cosseno envolvem produtos de radicais como √2 e √3. Entender como multiplicar e simplificar radicais é essencial para manipulação algébrica limpa nesses e em muitos outros contextos.
Exemplos de multiplicação de radicais
Problemas comuns de multiplicação de radicais mostrando a forma intermediária e a simplificada.
| Expressão | Resultado simplificado | Observações |
|---|---|---|
| 2√3 × 3√3 | 18 | 6√9 = 6×3 = 18; radicandos iguais |
| 3√2 × 2√8 | 24 | 6√16 = 6×4 = 24; quadrado perfeito |
| √5 × √5 | 5 | 1√25 = 5; o produto é um número inteiro |
| 2√3 × √12 | 12 | 2√36 = 2×6 = 12 |
Como usar a calculadora
- Digite o coeficiente da primeira expressão radical em 'Coeficiente (a)' (use 1 se não houver coeficiente).
- Digite o radicando (o número sob a raiz quadrada) da primeira expressão em 'Radicando (x)'.
- Digite o coeficiente e o radicando da segunda expressão radical nos campos correspondentes.
- Clique em Calcular para ver o produto intermediário e o resultado totalmente simplificado.
- Clique em Redefinir para limpar todos os campos e começar um novo cálculo.
Perguntas frequentes
O que é a regra do produto de radicais?
A regra do produto de radicais diz que √a × √b = √(a×b) para números reais não negativos a e b. Isso significa que você pode combinar ou separar radicais multiplicando ou fatorando dentro do sinal de raiz. A regra se estende a expressões com coeficientes: a√x × b√y = (ab)√(xy).
Como simplificar um radical depois da multiplicação?
Fatore o radicando combinado como um quadrado perfeito vezes um fator restante. Por exemplo, √72 = √(36×2) = 6√2, pois 36 é um quadrado perfeito e 2 não tem fator de quadrado perfeito. A calculadora encontra automaticamente o maior divisor quadrado perfeito.
E se os dois radicandos forem iguais?
Quando x = y, o produto a√x × b√x = ab√(x²) = ab×x, que é sempre um número inteiro (assumindo entradas inteiras). Por exemplo, 5√7 × 3√7 = 15√49 = 15×7 = 105. Essa identidade é usada ao racionalizar denominadores.
Posso inserir radicandos decimais?
A calculadora aceita qualquer número não negativo como radicando e calcula o resultado numericamente. Para que a simplificação funcione bem, radicandos inteiros são recomendados porque o algoritmo de fatoração de quadrados perfeitos opera sobre inteiros.
O que significa quando o resultado não tem sinal radical?
Quando o radicando combinado é um quadrado perfeito, sua raiz quadrada é um inteiro, então o resultado inteiro se simplifica para um número inteiro sem radical. Isso acontece quando os dois radicandos são iguais, quando o produto deles é um quadrado perfeito (como 4 × 9 = 36) ou quando o radicando combinado é 1.