Calculadora de matrizes
Faça todas as operações essenciais com matrizes — somar, subtrair, multiplicar, transpor e encontrar o determinante — em uma única ferramenta online gratuita de álgebra linear.
Escolha uma operação, insira uma ou duas matrizes no formato com ponto e vírgula e vírgulas e clique em Calcular para ver o resultado na hora.
Calculadora de matrizes
Faça todas as operações essenciais com matrizes — somar, subtrair, multiplicar, transpor e encontrar o determinante — em uma única ferramenta online gratuita de álgebra linear.
Separe as linhas com ponto e vírgula (;) e as colunas com vírgulas (,). Exemplo: 1,2;3,4 representa uma matriz 2×2.
Sobre a calculadora de matrizes
Uma matriz é uma disposição retangular de números organizada em linhas e colunas. As matrizes são a estrutura de dados fundamental da álgebra linear, e praticamente qualquer problema em física, engenharia, computação gráfica, estatística e aprendizado de máquina pode ser expresso em termos de matrizes e das operações realizadas sobre elas. Esta calculadora cobre as cinco operações que você encontra com mais frequência: soma, subtração, multiplicação, transposição e determinante.
A soma e a subtração de matrizes são operações elemento a elemento que exigem que as duas matrizes tenham dimensões idênticas. Você combina os elementos correspondentes posição por posição, produzindo uma matriz resultado do mesmo tamanho. A subtração simplesmente usa um sinal de menos no lugar de um sinal de mais em cada posição.
A multiplicação de matrizes é mais complexa. Para multiplicar uma matriz m×n A por uma matriz n×p B, o número de colunas de A precisa ser igual ao número de linhas de B. Cada elemento da matriz resultado m×p é calculado como o produto escalar de uma linha de A com uma coluna de B: C[i][j] = Σ A[i][k] × B[k][j]. Diferentemente da multiplicação comum, a multiplicação de matrizes não é comutativa — em geral, AB ≠ BA.
A transposição de uma matriz é obtida trocando suas linhas e colunas. Se A é uma matriz m×n, sua transposta Aᵀ é uma matriz n×m em que Aᵀ[i][j] = A[j][i]. Transpor é fundamental em muitas fórmulas, inclusive no cálculo de matrizes de covariância em estatística e na formulação das equações normais em regressão linear.
O determinante é um valor escalar associado a uma matriz quadrada que codifica informações geométricas e algébricas importantes. Para uma matriz 2×2 [[a,b],[c,d]], det = ad − bc. Para matrizes maiores, o cálculo envolve expansão recursiva por cofatores ou redução por linhas. Um determinante diferente de zero significa que a matriz é inversível; um determinante igual a zero significa que ela é singular e não tem inversa.
Juntas, essas cinco operações cobrem a grande maioria do que estudantes e profissionais precisam no dia a dia da álgebra linear. Seja resolvendo sistemas de equações, girando objetos em gráficos 3D, ajustando modelos de regressão ou analisando grafos de rede, entender como somar, subtrair, multiplicar, transpor e calcular o determinante de matrizes oferece um conjunto de ferramentas poderoso para enfrentar quase qualquer problema quantitativo.
Exemplos da calculadora de matrizes
Cinco exemplos que ilustram cada uma das cinco operações suportadas.
| Entrada | Resultado | Notas |
|---|---|---|
| Soma: A = [[1,2],[3,4]], B = [[5,6],[7,8]] | [[6,8],[10,12]] | Soma elemento a elemento. As duas matrizes precisam ter o mesmo tamanho. |
| Multiplicação: A = [[1,2],[3,4]], B = [[2,0],[1,2]] | [[4,4],[10,8]] | C[0][0] = 1×2 + 2×1 = 4. C[0][1] = 1×0 + 2×2 = 4. C[1][0] = 3×2 + 4×1 = 10. C[1][1] = 3×0 + 4×2 = 8. |
| Transposição: A = [[1,2,3],[4,5,6]] | [[1,4],[2,5],[3,6]] | A matriz 2×3 se torna uma matriz 3×2. Linhas viram colunas. |
| Determinante: A = [[3,8],[4,6]] | −14 | det = 3×6 − 8×4 = 18 − 32 = −14. Um determinante diferente de zero significa que A é invertível. |
| Subtração: A = [[9,5],[3,7]], B = [[4,2],[1,3]] | [[5,3],[2,4]] | Cada elemento de B é subtraído do elemento correspondente de A. |
Como usar a calculadora de matrizes
- Clique no botão de operação — Somar, Subtrair, Multiplicar, Transpor ou Determinante — para escolher o cálculo que deseja fazer.
- Insira a Matriz A no primeiro campo usando ponto e vírgula para separar as linhas e vírgulas para separar os valores dentro de uma linha. Por exemplo, 1,2;3,4 representa [[1,2],[3,4]].
- Para Somar, Subtrair e Multiplicar, insira também a Matriz B no segundo campo. Para Transpor e Determinante, apenas a Matriz A é necessária.
- Clique em Calcular. O resultado aparece abaixo — como uma matriz para Somar, Subtrair, Multiplicar e Transpor, ou como um único número para Determinante.
- Clique em Redefinir para limpar todos os campos e começar de novo, ou troque a operação para reutilizar as mesmas matrizes em um cálculo diferente.
Perguntas frequentes
Quando duas matrizes podem ser multiplicadas?
Duas matrizes A e B podem ser multiplicadas (como A × B) apenas quando o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Se A é m×n e B é n×p, o produto C é m×p. Se as dimensões internas não coincidirem, a multiplicação é indefinida e a calculadora mostrará um erro de dimensão.
A multiplicação de matrizes é comutativa?
Não. Em geral, AB ≠ BA, mesmo quando ambos os produtos são definidos. Essa é uma das diferenças mais importantes entre matrizes e números comuns. Por exemplo, se A rotaciona vetores em 90° e B os reflete, a ordem das operações produz uma transformação diferente.
O que significa um determinante igual a zero?
Um determinante zero significa que a matriz é singular — ela não tem inversa e suas linhas (ou colunas) são linearmente dependentes. Geometricamente, isso significa que a matriz comprime o espaço em um objeto de dimensão menor. Em sistemas de equações, uma matriz de coeficientes singular significa que o sistema não tem solução ou tem infinitas soluções.
Como faço para inserir uma matriz não quadrada?
Use o formato padrão: separe os elementos da linha com vírgulas e as linhas com ponto e vírgula. Por exemplo, uma matriz 2×3 [[1,2,3],[4,5,6]] é inserida como 1,2,3;4,5,6. Matrizes não quadradas são válidas para soma, subtração, multiplicação e transposição, mas não para o determinante.
Para que serve a transposição?
A transposição troca as linhas e colunas de uma matriz. Ela é usada em muitas fórmulas de álgebra linear: cálculo de produtos escalares, formação de matrizes simétricas, resolução de problemas de mínimos quadrados via as equações normais (AᵀA)x = Aᵀb e obtenção da transposta conjugada em análise complexa. Em aprendizado de máquina, transpor matrizes de pesos é rotina nas passagens direta e reversa de redes neurais.
Esta calculadora consegue lidar com matrizes maiores que 3×3?
Sim. A calculadora suporta matrizes de qualquer dimensão consistente para todas as operações. Determinantes de matrizes grandes são calculados por eliminação gaussiana, o que é preciso para matrizes de pelo menos 10×10. Para matrizes muito grandes, a precisão numérica pode diminuir um pouco devido à aritmética de ponto flutuante.