Calculadora da lei dos senos - Resolver triângulos (AAS, ASA, SSA)
Use a lei dos senos para encontrar lados e ângulos desconhecidos em qualquer triângulo. Compatível com AAS, ASA e SSA, incluindo o caso ambíguo.
Selecione a configuração que corresponde aos seus valores conhecidos, insira-os abaixo e obtenha instantaneamente todos os lados, ângulos e propriedades do triângulo.
Calculadora da lei dos senos - Resolver triângulos (AAS, ASA, SSA)
Use a lei dos senos para encontrar lados e ângulos desconhecidos em qualquer triângulo. Compatível com AAS, ASA e SSA, incluindo o caso ambíguo.
Exemplos da lei dos senos
Quatro exemplos cobrindo AAS, ASA e ambos os casos SSA.
| Configuração e valores dados | Valores faltantes | Observações |
|---|---|---|
| AAS: A=45°, B=60°, a=10 | C=75°, b≈12.25, c≈13.66 | C = 180−105 = 75°. b = 10⋅sin(60°)/sin(45°) ≈ 12.25. c = 10⋅sin(75°)/sin(45°) ≈ 13.66. |
| ASA: A=30°, c=12, B=50° | C=100°, a≈6.09, b≈9.33 | C = 180−80 = 100°. a = 12⋅sin(30°)/sin(100°) ≈ 6.09. b = 12⋅sin(50°)/sin(100°) ≈ 9.33. |
| SSA: a=15, b=10, A=60° | Uma solução: B≈35.26° | sin(B) = 10⋅sin(60°)/15 ≈ 0.5774. Apenas a solução com B < 180−A é válida. |
| SSA: a=8, b=10, A=40° | Duas soluções: B≈52.47° ou B≈127.53° | Caso ambíguo: sin(B) = 10⋅sin(40°)/8 ≈ 0.8035. Ambos os valores de arcsin geram triângulos válidos. |
Sobre a calculadora da lei dos senos
A lei dos senos é um dos dois teoremas fundamentais para resolver triângulos (o outro é a lei dos cossenos). Para qualquer triângulo com lados a, b, c e ângulos opostos A, B, C, a lei afirma: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Essa razão comum é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita do triângulo, uma bela propriedade geométrica.
A lei dos senos é aplicável quando você conhece pelo menos um lado e o ângulo oposto, além de informações adicionais que determinem o triângulo de forma única (ou ambígua). Esta calculadora suporta três configurações.
AAS (Ângulo-Ângulo-Lado): você conhece dois ângulos e um lado não incluído. Como a soma dos ângulos de um triângulo é 180°, o terceiro ângulo é calculado imediatamente como C = 180° − A − B. Depois, os lados restantes são encontrados por b = a⋅sin(B)/sin(A) e c = a⋅sin(C)/sin(A). A solução é sempre única.
ASA (Ângulo-Lado-Ângulo): você conhece dois ângulos e o lado entre eles. A abordagem é semelhante à de AAS: calcule o terceiro ângulo e aplique a regra do seno para encontrar os outros dois lados. A solução também é única.
SSA (Lado-Lado-Ângulo): você conhece dois lados e um ângulo não incluído. Este é o “caso ambíguo”. Dependendo dos valores, pode haver zero, uma ou duas soluções válidas. A calculadora detecta todos os casos: se o ângulo fornecido for obtuso e o lado oposto for maior que o lado adjacente, há exatamente uma solução; se o ângulo for agudo, pode haver duas soluções se o lado oposto for menor que o lado adjacente, mas grande o suficiente para alcançar a linha da base. A calculadora informa ambas as soluções quando elas existem.
A lei dos senos tem ampla aplicação em navegação, topografia e engenharia. A triangulação, técnica para determinar a posição de um ponto a partir de ângulos medidos em pontos de referência conhecidos, depende da aplicação repetida da regra do seno. Em navegação, cálculos de rumo e distância entre pontos de rota usam leis trigonométricas. Na análise estrutural, forças em membros de treliças são resolvidas por cálculos com a regra do seno quando a geometria é definida por ângulos e um lado conhecido.
Esta calculadora automatiza as três configurações, trata de forma transparente o caso ambíguo SSA e exibe todas as propriedades do triângulo: os três lados, os três ângulos e o tipo de triângulo.
Como usar a calculadora da lei dos senos
- Selecione a configuração que corresponde aos seus valores conhecidos: AAS (dois ângulos e um lado não incluído), ASA (dois ângulos e o lado incluído) ou SSA (dois lados e um ângulo não incluído).
- Digite os valores conhecidos nos campos correspondentes. Os ângulos são inseridos em graus.
- Clique em Calcular. A calculadora aplica a regra do seno para encontrar todos os lados e ângulos desconhecidos.
- Para SSA, verifique se é informada uma ou duas soluções. O caso ambíguo é tratado automaticamente.
- Clique em Redefinir para limpar todos os campos e resolver um novo triângulo.
Perguntas frequentes
O que é a lei dos senos?
A lei dos senos diz que, em qualquer triângulo, a razão entre o comprimento de um lado e o seno do seu ângulo oposto é constante: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Essa razão comum é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita. Ela é usada para resolver triângulos quando se conhece pelo menos um par lado-ângulo (um lado e seu ângulo oposto).
O que é o caso ambíguo SSA?
O caso SSA (dois lados e um ângulo não incluído) é chamado de ambíguo porque pode produzir zero, um ou dois triângulos válidos. Quando o ângulo é agudo e o lado oposto está entre a altura do triângulo e o lado adjacente, existem dois triângulos possíveis com configurações diferentes. A calculadora identifica ambas as soluções automaticamente.
Quando devo usar a lei dos senos em vez da lei dos cossenos?
Use a lei dos senos para configurações AAS, ASA e SSA. Use a lei dos cossenos para SAS (dois lados e o ângulo incluído) e SSS (três lados conhecidos). A lei dos cossenos evita a ambiguidade do caso SSA ao resolver uma equação quadrática, enquanto a lei dos senos usa uma razão mais simples, mas precisa lidar com dois possíveis valores de arcsin.
Como devo inserir os ângulos nesta calculadora?
Todos os ângulos devem ser inseridos em graus. A calculadora os converte internamente para radianos para as funções trigonométricas. Em AAS e ASA, certifique-se de que os dois ângulos informados somem menos de 180° para que o terceiro ângulo seja positivo. Em SSA, o ângulo informado também deve estar entre 0 e 180 graus.
O que significa “tipo de triângulo”?
A calculadora classifica os triângulos pelos ângulos e pelos lados. Pelos ângulos: acutângulo (todos os ângulos < 90°), retângulo (um ângulo = 90°) ou obtusângulo (um ângulo > 90°). Pelos lados: equilátero (todos os lados iguais), isósceles (dois lados iguais) ou escaleno (nenhum lado igual). Esses rótulos aparecem na seção de resultados quando uma solução válida é encontrada.
A lei dos senos pode ser usada em triângulos retângulos?
Sim. Para um triângulo retângulo com o ângulo reto em C, sin(C) = sin(90°) = 1, então a regra do seno se simplifica para a/sin(A) = b/sin(B) = c. Isso é consistente com as fórmulas trigonométricas básicas do triângulo retângulo, sin(A) = a/c e sin(B) = b/c. A lei dos senos funciona para todos os triângulos, inclusive os retângulos.