Calculadora de inequações quadráticas
Analise e faça o gráfico de inequações quadráticas da forma ax² + bx + c op 0, com raízes, vértice, conjunto solução e notação de intervalos.
Informe os coeficientes a, b, c e escolha o sinal da inequação para analisar a parábola e determinar o conjunto solução.
Calculadora de inequações quadráticas
Analise e faça o gráfico de inequações quadráticas da forma ax² + bx + c op 0, com raízes, vértice, conjunto solução e notação de intervalos.
Sobre a calculadora de inequações quadráticas
Uma inequação quadrática é uma desigualdade que envolve uma expressão quadrática — isto é, um polinômio de grau 2 — comparada a um valor usando <, ≤, > ou ≥. A forma mais comum é ax² + bx + c > 0 ou ax² + bx + c < 0, em que a ≠ 0. Diferente de uma equação quadrática, que procura valores específicos de x que tornam a expressão igual a zero, uma inequação quadrática procura todos os valores de x que tornam a expressão positiva, negativa, não positiva ou não negativa. A resposta normalmente é um intervalo ou uma união de intervalos na reta real.
A chave para resolver uma inequação quadrática é entender a parábola y = ax² + bx + c. O sinal de a determina se a parábola abre para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0). As interseções com o eixo x — as raízes da equação correspondente ax² + bx + c = 0 — são os pontos em que a parábola cruza ou toca o eixo x. O discriminante Δ = b² − 4ac informa quantas raízes reais existem: se Δ > 0 há duas raízes reais distintas, se Δ = 0 há exatamente uma (raiz dupla) e se Δ < 0 não há raízes reais.
Para resolver ax² + bx + c > 0 quando Δ > 0 e a > 0: a parábola abre para cima e fica abaixo do eixo x entre suas duas raízes. Portanto, a expressão é positiva fora das raízes — isto é, para x < r₁ ou x > r₂. Para a inequação < 0 nas mesmas condições, a solução é o intervalo entre as raízes: r₁ < x < r₂. Quando a < 0, a parábola abre para baixo e esses casos se invertem.
Quando Δ = 0 há um único ponto de contato. Para a > 0, a expressão é ≥ 0 para todo x (tocando zero apenas na raiz dupla) e não é < 0 para nenhum x. Quando Δ < 0 e a > 0, a parábola nunca cruza o eixo x e permanece totalmente acima dele, então ax² + bx + c > 0 para todo x real e a inequação < 0 não tem solução.
Inequações quadráticas aparecem em movimento de projéteis (quando o projétil está acima de certa altura?), otimização (para quais entradas o custo supera a receita?), processamento de sinais (faixas de frequência) e tolerâncias de engenharia. A fórmula do discriminante b² − 4ac e a fórmula quadrática x = (−b ± √Δ) / (2a) são as duas ferramentas principais da análise.
Esta calculadora recebe os coeficientes a, b e c e o sinal da inequação, calcula o discriminante, encontra as raízes reais, determina o vértice e descreve o conjunto solução tanto em linguagem simples quanto em notação de intervalos. A direção de abertura da parábola também é informada para ajudar você a visualizar o gráfico.
Exemplos de inequações quadráticas
Quatro casos cobrindo parábolas voltadas para cima e para baixo, duas raízes distintas e uma raiz dupla.
| Inequação | Conjunto solução | Observações |
|---|---|---|
| x² − 4x + 3 > 0 (a=1, b=−4, c=3) | (-∞, 1) ∪ (3, ∞) | A parábola abre para cima, com raízes em x=1 e x=3. A expressão é positiva fora das raízes. |
| −x² + 2x + 3 ≤ 0 (a=−1, b=2, c=3) | (-∞, −1] ∪ [3, ∞) | A parábola abre para baixo, com raízes em x=−1 e x=3. A expressão é não positiva fora das raízes. |
| 2x² + 3x + 4 < 0 (a=2, b=3, c=4) | Sem solução | O discriminante Δ = 9 − 32 = −23 < 0 e a > 0, então a expressão é sempre positiva. |
| x² − 6x + 9 ≥ 0 (a=1, b=−6, c=9) | Todos os números reais | Raiz dupla em x=3 (um quadrado perfeito). A expressão é zero apenas em x=3 e positiva em qualquer outro ponto. |
Como usar a calculadora de inequações quadráticas
- Digite o coeficiente a (termo x²), b (termo x) e c (constante). O coeficiente a não pode ser zero.
- Selecione o sinal da inequação no menu suspenso: >, ≥, < ou ≤.
- Clique em 'Traçar inequação'. A calculadora calcula o discriminante, encontra as raízes (se houver), localiza o vértice e determina o conjunto solução completo.
- Leia o conjunto solução em notação de intervalos no painel de resultados. O símbolo ∪ significa que a solução é composta por dois intervalos separados.
- Use Redefinir para limpar todos os campos e começar um novo problema.
Perguntas frequentes sobre a calculadora de inequações quadráticas
O que é uma inequação quadrática?
Uma inequação quadrática é uma desigualdade da forma ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ≥ ou ≤, em que a ≠ 0. Em vez de encontrar valores específicos de x como em uma equação, você encontra todos os valores de x que satisfazem a inequação — normalmente um intervalo ou uma união de intervalos.
Como o sinal do coeficiente líder a afeta a solução?
Quando a > 0, a parábola abre para cima, então a expressão é negativa entre as raízes e positiva fora delas. Quando a < 0, a parábola abre para baixo, então a expressão é positiva entre as raízes e negativa fora delas. Inverter o sinal de a basicamente inverte o conjunto solução.
O que acontece quando o discriminante é negativo?
Se Δ = b² − 4ac < 0, a parábola nunca cruza o eixo x. Quando a > 0, a expressão é sempre positiva, então ax²+bx+c > 0 é verdadeiro para todo x real (solução = ℝ) e ax²+bx+c < 0 não tem solução. Quando a < 0, o contrário é verdadeiro.
O que é uma raiz dupla e o que ela significa para a solução?
Uma raiz dupla ocorre quando Δ = 0, o que significa que a parábola apenas toca o eixo x em um único ponto. Para a > 0, a expressão é ≥ 0 para todo x (a solução para ≥ são todos os reais) e nunca é estritamente negativa (sem solução para <). Para a inequação ≤ com raiz dupla r, a solução é apenas o ponto x = r.
Como leio a notação de intervalos no resultado?
Parênteses ( ) indicam limites estritos (não incluídos, usados em > ou <), enquanto colchetes [ ] indicam limites inclusivos (usados em ≥ ou ≤). O símbolo ∪ significa 'união' — a solução é o conjunto de todos os números em qualquer um dos intervalos.
A solução pode ser todos os números reais?
Sim. Se a > 0 e Δ < 0, então ax² + bx + c > 0 para todo x real, portanto a solução de ax²+bx+c > 0 (ou ≥ 0) é ℝ. Do mesmo modo, se a < 0 e Δ < 0, então ax²+bx+c < 0 para todo x real.