Calculadora de espaço nulo - núcleo e base
Encontre o espaço nulo (núcleo) de qualquer matriz até 4×4 e calcule vetores de base, posto e nulidade com eliminação de Gauss-Jordan.
Selecione as dimensões da matriz, preencha os valores e clique em Calcular para encontrar todos os vetores de base do espaço nulo e o posto da matriz.
Calculadora de espaço nulo - núcleo e base
Encontre o espaço nulo (núcleo) de qualquer matriz até 4×4 e calcule vetores de base, posto e nulidade com eliminação de Gauss-Jordan.
Sobre a calculadora de espaço nulo
O espaço nulo de uma matriz A (também chamado de núcleo de A) é o conjunto de todos os vetores x que satisfazem a equação homogênea Ax = 0. Geometricamente, é o conjunto de todos os vetores que a transformação linear representada por A leva ao vetor zero. O espaço nulo é sempre um subespaço do espaço de domínio, e sua dimensão é chamada de nulidade da matriz.
O teorema posto-nulidade é um dos resultados centrais da álgebra linear: para uma matriz m × n A, rank(A) + nullity(A) = n. Isso significa que posto e nulidade sempre somam o número de colunas. Uma matriz com posto de coluna completo (rank = n) tem um espaço nulo trivial contendo apenas o vetor zero. Quando o posto é menor que n, o espaço nulo tem dimensão positiva igual a n − rank, e existem infinitos vetores que satisfazem Ax = 0.
Para calcular o espaço nulo, esta calculadora usa eliminação de Gauss-Jordan para reduzir A à Forma Escalonada Reduzida por Linhas (RREF). Na RREF, cada linha não nula tem um 1 líder (pivô) e todo outro elemento nessa coluna é zero. As colunas com pivôs correspondem a variáveis básicas; as demais correspondem a variáveis livres. Para cada variável livre, pode-se defini-la como 1 e colocar as outras variáveis livres como 0, então resolver de volta para encontrar os valores das variáveis básicas. O vetor resultante é um vetor de base do espaço nulo.
O espaço nulo tem aplicações importantes em matemática aplicada e engenharia. Em sistemas lineares, o espaço nulo mostra a não unicidade das soluções: se Ax = b tem uma solução x₀, então a solução geral é x₀ somada a qualquer elemento do espaço nulo. Em teoria de controle, o espaço nulo de uma matriz de controlabilidade revela modos incontroláveis. Em processamento de sinais, o espaço nulo de uma matriz de medição identifica sinais invisíveis para a rede de sensores. Em química, o espaço nulo da matriz estequiométrica fornece todas as leis de conservação de uma rede de reações.
Para estabilidade numérica, esta calculadora usa pivotamento parcial durante a eliminação gaussiana e trata qualquer valor com módulo menor que 1e-10 como zero. Isso torna o algoritmo robusto para matrizes com entradas inteiras ou racionais encontradas em cursos e problemas de engenharia. Digite quaisquer números — inteiros, decimais ou frações expressas como decimais — e a calculadora retorna imediatamente o posto, a nulidade e um conjunto completo de vetores de base do espaço nulo.
Exemplos de espaço nulo
Quatro exemplos cobrindo diferentes formatos de matriz e dimensões do espaço nulo.
| Matriz | Base do espaço nulo | Explicação |
|---|---|---|
| 2×3: [[1,2,3],[4,5,6]] | v1 = [1, −2, 1] | Posto 2, nulidade 1. Uma variável livre produz um vetor de base. Verifique: 1·1 + 2·(−2) + 3·1 = 0 e 4·1 + 5·(−2) + 6·1 = 0. |
| 3×3 Identity [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]] | Trivial (somente o vetor zero) | Matriz de posto completo: rank = 3, nullity = 0. A única solução de Ix = 0 é x = 0. |
| 3×3 rank-deficient: [[1,2,3],[2,4,6],[1,1,2]] | v1 = [−1, −1, 1] | Posto 2, nulidade 1. As linhas 1 e 2 são linearmente dependentes (linha 2 = 2×linha 1). A RREF fornece colunas pivô 0 e 1, e coluna livre 2; a substituição para trás resulta em v = [−1, −1, 1]. |
| 2×2 zero matrix [[0,0],[0,0]] | v1 = [1,0], v2 = [0,1] | Posto 0, nulidade 2. Todo vetor satisfaz Ax = 0, então todo R² é o espaço nulo com a base padrão. |
Como usar a calculadora de espaço nulo
- Selecione as dimensões da matriz (linhas × colunas) usando os botões de tamanho. As opções vão de 2×2 a 4×4, incluindo matrizes não quadradas como 2×3 e 3×4.
- Digite as entradas da matriz na grade. Cada célula aceita qualquer número real, incluindo decimais e negativos. Deixar células em branco gerará um erro.
- Clique em Calcular espaço nulo. O resultado mostrará o posto, a nulidade e todos os vetores de base do espaço nulo.
- Use os botões de Carregar exemplo para preencher exemplos clássicos: uma matriz 2×3 com espaço nulo unidimensional ou uma matriz 3×3 com posto deficiente.
- Clique em Redefinir para limpar todas as células mantendo o tamanho atual da matriz, ou mude o seletor de tamanho para começar com outra dimensão.
Perguntas frequentes sobre espaço nulo
O que é o espaço nulo de uma matriz?
O espaço nulo de uma matriz A é o conjunto de todos os vetores x tais que Ax seja o vetor zero. Ele representa todas as direções do espaço de entrada que a transformação linear A colapsa para zero. O espaço nulo é sempre um subespaço (contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação por escalar). Sua dimensão, chamada nulidade, mede quanta informação A perde durante a transformação.
Como a eliminação de Gauss-Jordan encontra o espaço nulo?
O algoritmo converte A para a Forma Escalonada Reduzida por Linhas (RREF) aplicando operações de linha. Na RREF, colunas pivô e colunas livres são fáceis de identificar. Para cada variável livre (coluna não pivô), fixá-la em 1 e todas as outras em 0, e depois resolver para as variáveis pivô, produz um vetor de base do espaço nulo. O espaço nulo completo é o span de todos esses vetores.
O que significa um espaço nulo trivial?
Um espaço nulo trivial contém apenas o vetor zero. Isso acontece quando a matriz tem posto de coluna completo — cada coluna é pivô e não há variáveis livres. Para a equação Ax = 0, a solução única é x = 0. Uma matriz quadrada com espaço nulo trivial é invertível; uma matriz não quadrada com espaço nulo trivial tem a equação Ax = b com no máximo uma solução para qualquer b.
O que é o teorema posto-nulidade?
O teorema posto-nulidade afirma que, para uma matriz m × n A: rank(A) + nullity(A) = n, onde n é o número de colunas. O posto é a dimensão do espaço coluna (número de colunas linearmente independentes), e a nulidade é a dimensão do espaço nulo. Eles são complementares: aumentar o posto diminui a nulidade e vice-versa. Esse teorema é fundamental para entender aplicações lineares e sistemas de equações.
Uma matriz não quadrada pode ter espaço nulo?
Sim. Qualquer matriz cujo número de colunas exceda o posto tem um espaço nulo não trivial. Para uma matriz larga com mais colunas que linhas (m < n), o posto pode ser no máximo m, então nulidade ≥ n − m > 0, garantindo um espaço nulo não trivial. Matrizes altas (mais linhas que colunas) também podem ter espaço nulo trivial se suas colunas forem linearmente independentes.
Por que os vetores de base podem conter decimais?
Quando a matriz tem entradas não inteiras ou quando a substituição para trás produz frações, os vetores de base do espaço nulo terão componentes decimais. Isso é matematicamente correto — o espaço nulo é definido sobre os números reais, não apenas sobre os inteiros. Você pode multiplicar qualquer vetor de base por uma constante não nula e obter outro vetor de base válido; se preferir componentes inteiros, multiplique o vetor pelo MMC dos denominadores.