Calculadora do discriminante - raízes quadráticas
Calcule o discriminante Δ = b² − 4ac de qualquer equação quadrática e descubra instantaneamente se as raízes são reais, repetidas ou complexas.
Calculadora do discriminante - raízes quadráticas
Calcule o discriminante Δ = b² − 4ac de qualquer equação quadrática e descubra instantaneamente se as raízes são reais, repetidas ou complexas.
Digite os coeficientes a, b e c de ax² + bx + c = 0. O coeficiente a não pode ser zero.
Carregar um exemplo rápido:
Sobre a calculadora do discriminante
O discriminante é um único número que resume tudo o que você precisa saber sobre as raízes de uma equação quadrática antes de resolvê-la. Derivado da fórmula quadrática, o discriminante Δ = b² − 4ac fica sob o sinal de raiz em x = (−b ± √Δ) / (2a). Seu sinal sozinho determina se a equação tem duas raízes reais distintas (Δ > 0), uma raiz real repetida (Δ = 0) ou duas raízes complexas conjugadas (Δ < 0).
Quando Δ é positivo, sua raiz quadrada é um número real positivo, e o ± na fórmula quadrática produz dois valores reais diferentes. A maior raiz é (−b + √Δ)/(2a) e a menor é (−b − √Δ)/(2a). Quanto maior o discriminante, mais distantes ficam as duas raízes; elas ficam mais próximas quando Δ é pequeno e positivo. No gráfico de y = ax² + bx + c, um discriminante positivo significa que a parábola cruza o eixo x em dois pontos distintos.
Quando Δ é zero, √Δ = 0, e os ramos + e − dão a mesma resposta: x = −b/(2a). Esse é o vértice da parábola, e a curva é tangente ao eixo x exatamente nesse ponto. Trinômios quadrados perfeitos como (x − 3)² = x² − 6x + 9 sempre têm discriminante zero: Δ = 36 − 36 = 0.
Quando Δ é negativo, não existe raiz quadrada real de Δ, e as soluções envolvem a unidade imaginária i = √(−1). As duas raízes são complexas conjugadas da forma (−b)/(2a) ± i√(|Δ|)/(2a). Embora essas raízes não correspondam a interceptos no eixo x na reta real, elas são soluções válidas no sistema dos números complexos e aparecem com frequência em processamento de sinais, teoria de controle e física.
O discriminante tem conexões importantes com outras áreas da matemática. Na fórmula quadrática, ele determina diretamente as duas soluções. Em geometria analítica, ele controla a posição da parábola em relação ao eixo x. Na teoria das equações, ele se generaliza para polinômios de grau maior como uma medida de quantas raízes coincidem. As fórmulas de Viète conectam o discriminante à soma e ao produto das raízes: para ax² + bx + c = 0, a soma das raízes é −b/a e o produto é c/a, e em forma normalizada, Δ = (soma das raízes)² − 4(produto das raízes) × a²/a².
Digite quaisquer a, b e c válidos na calculadora do discriminante para ver instantaneamente Δ, a natureza das raízes e os valores reais das raízes. A calculadora trata os três casos — discriminante positivo, zero e negativo — e exibe raízes complexas na forma padrão a + bi.
Exemplos de discriminante
Três casos padrão que cobrem todos os resultados possíveis do discriminante.
| Equação | Discriminante | Natureza das raízes |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6) | Δ = 1 | Δ = (−5)²−4(1)(6) = 25−24 = 1 > 0. Duas raízes reais distintas: x = 3 e x = 2. |
| x² − 4x + 4 = 0 (a=1, b=−4, c=4) | Δ = 0 | Δ = (−4)²−4(1)(4) = 16−16 = 0. Uma raiz dupla: x = 2. A parábola toca o eixo x exatamente uma vez. |
| x² + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Δ = −16 | Δ = 4−4(1)(5) = 4−20 = −16 < 0. Duas raízes complexas conjugadas: x = −1 ± 2i. A parábola não cruza o eixo x. |
| 2x² − 8x + 6 = 0 (a=2, b=−8, c=6) | Δ = 16 | Δ = 64−4(2)(6) = 64−48 = 16 > 0. Duas raízes reais distintas: x = 3 e x = 1. |
Como usar a calculadora do discriminante
- Identifique os coeficientes a, b e c da sua equação quadrática escrita na forma padrão ax² + bx + c = 0.
- Digite a no primeiro campo, b no segundo e c no terceiro. Lembre-se de que a deve ser diferente de zero.
- Clique em Calcular discriminante para ver Δ = b² − 4ac, a natureza das raízes e as próprias raízes.
- Use os botões de carregamento rápido para testar os três exemplos clássicos que cobrem discriminantes positivos, zero e negativos.
- Clique em Redefinir para restaurar os valores padrão e iniciar um novo cálculo.
Perguntas frequentes sobre a calculadora do discriminante
O que é o discriminante de uma equação quadrática?
O discriminante de ax² + bx + c = 0 é a expressão Δ = b² − 4ac. Ele aparece sob a raiz na fórmula quadrática e determina o número e o tipo de raízes sem precisar resolver totalmente a equação. Um discriminante positivo significa duas raízes reais distintas, zero significa uma raiz dupla e negativo significa duas raízes complexas conjugadas.
Como usar o discriminante para encontrar as raízes?
Depois de saber Δ, substitua na fórmula quadrática: x = (−b ± √Δ) / (2a). Se Δ > 0, use +√Δ e −√Δ para obter duas raízes reais. Se Δ = 0, a única raiz é −b/(2a). Se Δ < 0, as raízes são complexas: x = −b/(2a) ± i√(|Δ|)/(2a).
O que significa quando o discriminante é zero?
Um discriminante igual a zero significa que a equação quadrática tem uma raiz repetida. Geometricamente, a parábola y = ax² + bx + c é tangente ao eixo x — ela apenas o toca no vértice, sem cruzá-lo. Isso acontece, por exemplo, com o trinômio quadrado perfeito x² − 4x + 4 = (x−2)².
O discriminante pode ser negativo?
Sim. Um discriminante negativo significa que não existe raiz quadrada real de Δ, então a equação quadrática não tem raízes reais. Em vez disso, ela tem duas raízes complexas conjugadas da forma p + qi e p − qi. Isso ocorre quando a parábola está totalmente acima ou abaixo do eixo x e nunca o intercepta.
Por que o coeficiente a precisa ser diferente de zero?
Se a = 0, a equação ax² + bx + c = 0 se reduz a bx + c = 0, que é linear e não quadrática. A fórmula quadrática e o discriminante não se aplicam para a = 0 porque o denominador 2a seria zero. A calculadora exige a ≠ 0 para garantir que uma quadrática de fato esteja sendo analisada.
Como o discriminante se relaciona com o gráfico da quadrática?
Os interceptos no eixo x da parábola y = ax² + bx + c correspondem exatamente às raízes reais da equação. Se Δ > 0, a parábola cruza o eixo x em dois pontos distintos. Se Δ = 0, ela é tangente ao eixo x em um ponto (o vértice). Se Δ < 0, a parábola não toca o eixo x, confirmando que todas as raízes são complexas.