Calculadora de decimais finitos

Um decimal finito é um número decimal que tem uma quantidade finita e definida de dígitos depois da vírgula. Exemplos incluem 0.5, 0.75, 0.125 e 3.25. Em contraste, um decimal periódico como 0.333… ou 0.142857142857… continua infinitamente. Ambos os tipos são números racionais — cada um pode ser expresso como uma fração —, mas apenas os decimais finitos cabem exatamente em uma representação decimal finita. A regra que determina quais frações terminam é elegantemente simples e decorre diretamente da estrutura em base 10 do nosso sistema numérico. Qualquer número decimal pode ser pensado como uma fração com uma potência de dez (10, 100, 1000, …) no denominador. Uma fração p/q termina se, e somente se, quando reduzida aos menores termos, o denominador q não tiver fatores primos além de 2 e 5. Isso acontece porque os únicos fatores primos de qualquer potência de 10 são 2 e 5, e uma fração só pode ser convertida em uma fração equivalente com denominador potência de 10 quando seu denominador contém apenas esses dois primos. O algoritmo desta calculadora segue três etapas. Primeiro, ela calcula o máximo divisor comum (MDC) do numerador e do denominador e divide ambos por ele para obter a fração em sua forma irredutível. Segundo, encontra a fatoração prima do denominador simplificado. Terceiro, verifica se todo fator primo é 2 ou 5. Se for, a fração termina; se qualquer outro primo (3, 7, 11, 13, …) aparecer, ela é periódica. Para ilustrar: a fração 7/20 tem denominador 20 = 2² × 5. Como os únicos fatores primos são 2 e 5, 7/20 é um decimal finito. Seu valor decimal é 0.35, pois 7/20 = 35/100. Por outro lado, 1/6 tem denominador 6 = 2 × 3. A presença do fator 3 significa que 1/6 não pode ser expresso sobre uma potência de 10, então ele se repete: 0.1666… Uma sutileza importante é o papel da simplificação. A fração 6/30, por exemplo, parece complexa, mas ao simplificar pelo MDC de 6 obtemos 1/5, cujo denominador é apenas 5 — um decimal finito. Da mesma forma, 2/12 se simplifica para 1/6, que é periódico. Por isso a calculadora sempre reduz a fração primeiro antes de inspecionar os fatores primos do denominador. O tamanho do denominador é irrelevante para determinar se o decimal termina. A fração 1/1024 termina porque 1024 = 2¹⁰, embora 1024 seja bem grande. Enquanto isso, 1/3 se repete porque 3 é um primo diferente de 2 ou 5, embora 3 seja pequeno. O que importa é a natureza dos fatores primos, não sua magnitude.