Calculadora de comprimento de espiral

Uma espiral de Arquimedes é uma curva polar cujo raio varia a uma taxa constante conforme o ângulo muda. Sua equação é r = a + bθ, em que a é o raio no ângulo zero, b é o crescimento radial por radiano e θ é o ângulo em radianos. Assim, incrementos angulares iguais produzem variações iguais no raio, mantendo uma separação constante entre voltas vizinhas. Essa espiral conhecida aparece em materiais enrolados, ranhuras, bobinas, antenas e modelos matemáticos. Já a espiral logarítmica usa r = a vezes e elevado a bθ. Seu raio varia em uma proporção constante para incrementos angulares iguais, de modo que o espaçamento entre voltas cresce geometricamente, e não aritmeticamente. Espirais logarítmicas aparecem em modelos de crescimento, projetos de antenas e formas naturais. Esta calculadora aceita as duas famílias e aplica a primitiva exata adequada à equação selecionada. Encontrar o comprimento de uma espiral exige mais do que multiplicar um raio médio por um ângulo, pois a curva se move ao redor da origem e radialmente ao mesmo tempo. Para uma curva polar, o integrando do comprimento de arco é a raiz quadrada da soma de r ao quadrado com o quadrado da derivada de r em relação a θ. Na espiral de Arquimedes, a derivada é simplesmente b. Na logarítmica, é b vezes o raio atual, resultando em uma fórmula exponencial compacta para o comprimento. A implementação avalia expressões em forma fechada em vez de dividir a curva em muitos segmentos retos curtos. Quando b é zero, ambas as espirais têm raio constante e se tornam arcos de circunferência; nesse caso, a calculadora usa a fórmula mais simples de raio vezes amplitude angular. Os ângulos informados em graus são convertidos em radianos antes da aplicação de qualquer fórmula. O raio inicial e o crescimento devem ser interpretados conforme o modelo selecionado. O crescimento de Arquimedes tem unidade de comprimento por radiano, enquanto o fator exponencial logarítmico é adimensional. O comprimento resultante usa a unidade do raio inicial. Um crescimento negativo representa uma espiral que se enrola para dentro conforme o ângulo aumenta, e o comprimento permanece não negativo. Bobinas reais têm espessura, deformações e tolerâncias que não são representadas por um modelo ideal de linha central. Ao planejar o comprimento do material, use o raio da linha central da tira ou do fio e inclua uma folga prática. A exibição com seis casas decimais oferece um resultado claro, enquanto o cálculo interno mantém a precisão dupla padrão.