Calculadora de coeficiente binomial

O coeficiente binomial C(n, k), também escrito como “n escolhe k” ou ⁿCₖ, é o número de formas de selecionar exatamente k itens de um conjunto de n itens distintos quando a ordem não importa. É uma quantidade fundamental em combinatória e aparece em probabilidade, álgebra, estatística e ciência da computação. A fórmula é C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!). O ponto de exclamação indica fatorial: n! = n × (n−1) × (n−2) × ⋯ × 2 × 1, e por convenção 0! = 1. Por exemplo, C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10, ou seja, há 10 formas de escolher 2 itens de um grupo de 5. Coeficientes binomiais são as entradas do triângulo de Pascal. Cada número é a soma dos dois diretamente acima. A entrada na linha n e coluna k, contando a partir de zero, é C(n, k). Isso vem da identidade de Pascal: C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k), pois cada item é incluído ou excluído da escolha. O nome vem do teorema binomial: (x + y)ⁿ = Σ C(n, k) × xᵏ × y^(n−k), para k de 0 a n. O coeficiente de cada termo xᵏ y^(n−k) é C(n, k). Por exemplo, (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³, com coeficientes 1, 3, 3, 1 iguais a C(3,0), C(3,1), C(3,2), C(3,3). Em probabilidade, coeficientes binomiais aparecem na distribuição binomial, que modela o número de sucessos em n ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso p. A probabilidade de exatamente k sucessos é C(n, k) × p^k × (1−p)^(n−k). Mãos de pôquer, loterias, comitês e strings binárias com número fixo de uns se reduzem a esse cálculo. Para n e k grandes, calcular fatoriais diretamente pode causar estouro de inteiros. Algoritmos eficientes usam a fórmula multiplicativa C(n, k) = ∏ (n − i) / (i + 1), com i de 0 a k−1, mantendo menores os valores intermediários. Esta calculadora usa aritmética inteira exata para retornar resultados precisos em entradas práticas.