Calculadora da distribuição de Weibull - PDF, CDF e confiabilidade
Calcule a PDF, a CDF, a função de confiabilidade, a taxa de risco, a média, a mediana, a moda e a variância de Weibull a partir de quaisquer parâmetros de forma e escala.
Digite o parâmetro de forma k, o parâmetro de escala λ e um valor x para obter uma análise completa da distribuição de Weibull, incluindo probabilidade de falha e confiabilidade.
Calculadora da distribuição de Weibull - PDF, CDF e confiabilidade
Calcule a PDF, a CDF, a função de confiabilidade, a taxa de risco, a média, a mediana, a moda e a variância de Weibull a partir de quaisquer parâmetros de forma e escala.
Sobre a calculadora da distribuição de Weibull
A distribuição de Weibull é uma distribuição de probabilidade contínua nomeada em homenagem ao engenheiro e matemático sueco Waloddi Weibull, que a utilizou em 1951 para modelar resistência de materiais e fadiga. Hoje ela é uma das distribuições mais importantes em engenharia de confiabilidade, análise de sobrevivência, modelagem da velocidade do vento e teoria dos valores extremos, porque seu parâmetro de forma k permite modelar taxas de falha crescentes, constantes ou decrescentes — três comportamentos físicos muito diferentes — dentro de uma única família flexível.
A distribuição é definida por dois parâmetros. O parâmetro de forma k (às vezes escrito β) controla se a taxa de falha aumenta, diminui ou permanece constante ao longo do tempo. Quando k > 1, a taxa de falha aumenta com o tempo — isso modela falhas por desgaste típicas de componentes mecânicos, em que as peças se degradam com o uso. Quando k = 1, a distribuição de Weibull se reduz exatamente à distribuição exponencial com taxa de falha constante, modelando falhas puramente aleatórias, como as de componentes eletrônicos com uma taxa de fundo estável. Quando k < 1, a taxa de falha diminui com o tempo — isso modela falhas de mortalidade infantil, em que itens defeituosos falham cedo e os sobreviventes se tornam mais confiáveis. O parâmetro de escala λ (às vezes escrito η) é a vida característica: em x = λ, a CDF é 1 − e⁻¹ ≈ 63,2%, independentemente de k.
A função densidade de probabilidade (PDF) f(x) fornece a probabilidade relativa de observar uma falha exatamente no tempo x. A função de distribuição acumulada (CDF) F(x) fornece a probabilidade de um componente já ter falhado até o tempo x — isso também é chamado de não confiabilidade. A função de confiabilidade R(x) = 1 − F(x) fornece a probabilidade de sobreviver além do tempo x, que é a principal métrica para planejamento de garantia e manutenção. A taxa de risco h(x) = f(x) / R(x) é a taxa instantânea de falha no tempo x dado que houve sobrevivência até esse ponto; em engenharia, é chamada de força de mortalidade ou função de risco.
A média da distribuição de Weibull é λ · Γ(1 + 1/k), onde Γ é a função gama. A mediana é λ · (ln 2)^(1/k). A moda (tempo de falha mais provável) é λ · ((k−1)/k)^(1/k) quando k > 1 e zero quando k ≤ 1. A variância é λ² · [Γ(1 + 2/k) − (Γ(1 + 1/k))²].
A análise de Weibull aparece em programação de manutenção de frotas, certificação de componentes aeronáuticos, avaliação de recursos eólicos, estimativa de período de retorno de terremotos e estudos de sobrevivência em câncer. Esta calculadora executa todos os cálculos padrão de Weibull em uma única etapa, usando a aproximação de Lanczos para a função gama para manter alta precisão numérica em uma ampla faixa de valores de parâmetros.
Exemplos da distribuição de Weibull
Três cenários de indústria mostrando como a distribuição de Weibull modela falha e confiabilidade.
| Parâmetros | CDF F(x) | Detalhes |
|---|---|---|
| k=2.1, λ=8500, x=7000 | F(7000) ≈ 0.485 | Cerca de 48,5% dos rolamentos falharão antes de 7000 horas. Com k > 1, a taxa de falha aumenta com a idade (regime de desgaste). |
| k=1.8, λ=12 mph, x=15 mph | F(15) ≈ 0.776 | Há cerca de 77,6% de probabilidade de que a velocidade média diária do vento seja menor ou igual a 15 mph. Em muitas regiões, as velocidades do vento seguem Weibull com k ≈ 1.5–2.5. |
| k=1, λ=500, x=500 | F(500) ≈ 0.632 | Quando k=1, a Weibull se reduz à distribuição exponencial. Em x=λ, F(x) = 1 − e⁻¹ ≈ 63,2%, independentemente de k — essa é a propriedade definidora de λ. |
Como usar a calculadora da distribuição de Weibull
- Digite o parâmetro de forma k — valores acima de 1 modelam desgaste, k=1 é exponencial, e valores abaixo de 1 modelam mortalidade infantil.
- Digite o parâmetro de escala λ, que representa a vida característica (o momento em que cerca de 63,2% das unidades terão falhado).
- Digite o valor x no qual deseja avaliar a distribuição — normalmente um tempo, distância ou nível de esforço.
- Clique em Calcular para obter PDF, CDF, confiabilidade, taxa de risco, média, mediana, moda, variância e desvio padrão.
- Use os botões de exemplo para carregar instantaneamente cenários pré-definidos de engenharia ou ambientais.
Perguntas frequentes sobre a distribuição de Weibull
O que o parâmetro de forma k significa na prática?
O parâmetro de forma k determina o padrão da taxa de falha. Quando k < 1, a taxa de falha diminui ao longo do tempo — defeitos iniciais predominam. Quando k = 1, a taxa de falha é constante — falhas puramente aleatórias. Quando k > 1, a taxa de falha aumenta — o desgaste é o modo de falha dominante. A maioria dos componentes mecânicos tem k entre 1 e 4.
O que é a função de confiabilidade e como usá-la?
A confiabilidade R(x) = 1 − F(x) dá a probabilidade de um componente sobreviver além do tempo x. Para planejar manutenções ou períodos de garantia, você escolhe uma probabilidade de falha aceitável e resolve o x correspondente. Por exemplo, R(x) = 0,90 significa que 90% das unidades devem sobreviver além de x.
Por que a CDF sempre vale cerca de 63,2% em x=λ?
Em x = λ, o expoente na fórmula da CDF se torna (λ/λ)^k = 1, então F(λ) = 1 − e⁻¹ ≈ 0,6321. Isso é verdade para qualquer valor de k, tornando λ a vida característica universal: 63,2% das unidades terão falhado no parâmetro de escala, independentemente da forma.
O que é a taxa de risco e quando ela importa?
A taxa de risco h(x) é a taxa instantânea de falha no tempo x, dada a sobrevivência até esse ponto. Em engenharia de confiabilidade, ela é usada para programar manutenção preventiva. Quando h(x) está aumentando (k > 1), substituir peças antes de atingirem idades de alto risco é custo-efetivo. Quando h(x) é constante (k = 1), o momento da substituição não importa estatisticamente.
Como a média de Weibull difere do parâmetro de escala?
O parâmetro de escala λ é o tempo em que 63,2% das unidades falharam — não é a vida média. A média é λ · Γ(1 + 1/k). Para k=1 (exponencial), média = λ. Para k=2, a média é cerca de 0,886 λ. Para k=3.44, a média é aproximadamente λ. Assim, a média pode ficar acima ou abaixo de λ dependendo da forma.