Calculadora da distribuição de Rayleigh - PDF, CDF e estatísticas

A distribuição de Rayleigh é uma distribuição de probabilidade contínua para variáveis aleatórias não negativas, nomeada em homenagem a Lord Rayleigh, que a derivou originalmente no contexto das amplitudes de ondas sonoras. Ela é definida por um único parâmetro, σ (o parâmetro de escala), que ao mesmo tempo representa a moda da distribuição — o valor mais provável — e governa a dispersão de toda a distribuição. A função densidade de probabilidade (PDF) é dada por f(x; σ) = (x/σ²) · exp(−x²/(2σ²)) para x ≥ 0. Essa forma semelhante a um sino sobe a partir de zero em x = 0, atinge o pico em x = σ e então cai assintoticamente em direção a zero. A função de distribuição acumulada (CDF) é F(x; σ) = 1 − exp(−x²/(2σ²)), que fornece a probabilidade de uma observação aleatória ser menor ou igual a x. A CDF complementar (CCDF = 1 − CDF) fornece a probabilidade de observar um valor estritamente maior que x — isso também é chamado de função de sobrevivência e é fundamental em confiabilidade e engenharia de comunicações. A distribuição de Rayleigh é um caso especial da distribuição de Weibull de dois parâmetros com parâmetro de forma k = 2. Ela também tem uma ligação profunda com a distribuição normal: se duas variáveis aleatórias independentes X e Y seguem cada uma uma distribuição normal de média zero e variância σ², então a magnitude R = √(X² + Y²) segue uma distribuição de Rayleigh com parâmetro de escala σ. Essa interpretação geométrica a torna o modelo natural para a amplitude de um vetor aleatório 2D. Em comunicações sem fio, o modelo de fading de Rayleigh descreve como sinais de rádio se propagam em ambientes com muitos espalhadores e sem uma trajetória dominante em linha de visada. Quando um sinal transmitido reflete em prédios, veículos e relevo antes de chegar ao receptor, o envelope do sinal recebido segue uma distribuição de Rayleigh. Engenheiros usam esse modelo para calcular budgets de enlace, determinar probabilidades de indisponibilidade e projetar códigos de correção de erros. O parâmetro σ é estimado a partir de medições de sinal e alimenta diretamente simulações em nível de sistema. Em oceanografia e meteorologia, a distribuição modela alturas significativas de onda e velocidades de pico do vento em um local. Ajustando σ aos dados históricos, engenheiros e cientistas podem estimar a probabilidade de eventos extremos — por exemplo, a probabilidade de a altura das ondas exceder um limite de segurança durante uma tempestade de 50 anos. Aplicações semelhantes aparecem no projeto de plataformas offshore, na modelagem de inundações costeiras e na escolha de locais para turbinas eólicas. Em engenharia de confiabilidade, a distribuição de Rayleigh serve como distribuição de vida útil para componentes sujeitos a danos cumulativos provenientes de vários fatores de estresse independentes. Diferentemente da distribuição exponencial, a taxa de risco de Rayleigh aumenta linearmente com o tempo (h(t) = t/σ²), o que significa que componentes mais antigos falham com maior frequência — um modelo realista para mecanismos de desgaste como fadiga metálica e corrosão. As estatísticas resumidas principais são: Média = σ√(π/2) ≈ 1,2533σ; Mediana = σ√(2 ln 2) ≈ 1,1774σ; Moda = σ; Variância = (4 − π)/2 · σ² ≈ 0,4292σ². A média sempre excede a moda, refletindo a assimetria à direita da distribuição. A variância cresce quadraticamente com σ, então dobrar σ quadruplica a dispersão.