Calculateur du paradoxe des deux enveloppes

Le paradoxe des deux enveloppes est l’un des casse-têtes les plus célèbres de la théorie des probabilités et de la théorie de la décision. Popularisé dans les années 1980 et 1990, il continue de susciter des débats animés entre mathématiciens, philosophes et statisticiens. Le scénario est trompeusement simple : deux enveloppes contiennent chacune une somme d’argent. L’une contient exactement le double de l’autre. Vous choisissez une enveloppe au hasard, regardez le montant X à l’intérieur, puis devez décider si vous changez pour l’autre enveloppe. L’argument probabiliste naïf est le suivant : l’autre enveloppe contient soit 2X (si vous avez choisi la plus petite), soit X/2 (si vous avez choisi la plus grande). Les deux cas sont supposés également probables avec une probabilité de 0.5. Par conséquent, la valeur espérée de l’autre enveloppe est 0.5 × 2X + 0.5 × X/2 = X + X/4 = 1.25X. Comme 1.25X est supérieur à X, vous devriez toujours changer. Mais voici le paradoxe : si vous changez et tenez maintenant l’autre enveloppe contenant Y = 1.25X, le même raisonnement vous dit de revenir en arrière, et ainsi de suite à l’infini. Ce calculateur applique l’argument naïf pour calculer les deux valeurs espérées, rendant le paradoxe tangible avec de vrais nombres. Lorsque vous entrez X = 100, il montre que l’analyse naïve prédit une EV de 125 en changeant et seulement 100 en gardant. Le calcul est arithmétiquement correct, alors pourquoi la conclusion est-elle erronée ? La résolution repose sur la théorie des probabilités. L’argument naïf suppose implicitement qu’après avoir vu X, il est également probable que l’autre enveloppe contienne 2X ou X/2 — autrement dit, il traite X comme s’il pouvait être à la fois le plus petit et le plus grand montant avec la même probabilité. Or, dans toute configuration concrète, X est soit le plus petit montant (auquel cas l’autre enveloppe contient forcément 2X), soit le plus grand (auquel cas l’autre enveloppe contient forcément X/2). Une analyse correcte exige une distribution a priori des montants possibles cachés dans les enveloppes. Pour la plupart des a priori naturels — y compris toute distribution d’espérance finie — la valeur espérée correcte du changement est exactement X, ce qui n’offre aucun avantage. Plus formellement, supposons que les deux montants soient m et 2m tirés d’une certaine distribution. Si vous observez X, l’espérance conditionnelle de l’autre enveloppe donnée par l’a priori n’est pas 1.25X en général. La formule naïve mélange deux montants de référence (m et 2m) comme s’ils partageaient la même base, et c’est ce tour de passe-passe algébrique qui crée l’illusion d’un gain. Le paradoxe des deux enveloppes illustre magnifiquement comment un raisonnement probabiliste informel peut mener à des contradictions s’il est appliqué sans précaution, et pourquoi il est essentiel de conditionner rigoureusement selon le bon a priori bayésien. Il a stimulé des travaux sur les a priori impropres, l’échangeabilité et la théorie de la décision sous ambiguïté, ce qui en fait un exemple incontournable des cours avancés de probabilités.