Calculateur du paradoxe des deux enveloppes - Théorie de la décision

Le paradoxe des deux enveloppes est l'une des énigmes les plus célèbres de la théorie des probabilités et de la théorie de la décision. Popularisé dans les années 1980 et 1990, il continue de susciter des débats animés chez les mathématiciens, philosophes et statisticiens. Le scénario est trompeusement simple : deux enveloppes contiennent chacune une somme d'argent. L'une contient exactement le double de l'autre. Vous choisissez une enveloppe au hasard, regardez le montant X à l'intérieur, puis devez décider si vous changez pour l'autre enveloppe. L'argument probabiliste naïf est le suivant : l'autre enveloppe contient soit 2X (si vous avez choisi la plus petite), soit X/2 (si vous avez choisi la plus grande). Chaque cas serait également probable, avec une probabilité de 0.5. La valeur attendue de l'autre enveloppe serait donc 0.5 × 2X + 0.5 × X/2 = X + X/4 = 1.25X. Puisque 1.25X est supérieur à X, vous devriez toujours changer. Mais c'est là que réside le paradoxe : si vous changez et tenez maintenant l'autre enveloppe avec un montant Y = 1.25X, la même logique vous dit de rechanger, et ainsi de suite à l'infini. Ce calculateur calcule les deux valeurs attendues à l'aide de l'argument naïf, rendant le paradoxe concret avec des nombres réels. Lorsque vous saisissez X = 100, il montre que l'analyse naïve prédit une valeur attendue de 125 en changeant, contre seulement 100 en gardant. Le calcul est arithmétiquement correct ; pourquoi la conclusion est-elle donc fausse ? La résolution repose sur la théorie des probabilités. L'argument naïf suppose implicitement qu'après avoir vu X, il est aussi probable que l'autre enveloppe contienne 2X que X/2 ; autrement dit, il traite X comme s'il pouvait être le plus petit ou le plus grand montant avec la même probabilité. Mais dans toute situation concrète, X est soit le plus petit montant (auquel cas l'autre enveloppe contient forcément 2X), soit le plus grand montant (auquel cas l'autre enveloppe contient forcément X/2). L'analyse correcte exige une distribution a priori sur les montants possibles cachés dans les enveloppes. Pour la plupart des a priori naturels, y compris toute distribution à espérance finie, la valeur attendue correcte du changement est exactement X, ce qui ne donne aucun avantage. Plus formellement, supposons que les deux montants soient m et 2m, tirés d'une certaine distribution. Si vous observez X, l'espérance conditionnelle de l'autre enveloppe compte tenu de l'a priori n'est pas 1.25X en général. La formule naïve mélange deux montants de référence (m et 2m) comme s'ils partageaient la même base ; c'est le tour de passe-passe algébrique qui crée l'illusion du gain. Le paradoxe des deux enveloppes illustre parfaitement comment un raisonnement probabiliste informel peut mener à des contradictions lorsqu'il est appliqué sans rigueur, et pourquoi un conditionnement bayésien rigoureux sur le bon a priori est essentiel. Il a stimulé des recherches sur les a priori impropres, l'échangeabilité et la théorie de la décision sous ambiguïté, ce qui en fait un exemple classique des cours avancés de probabilités.