Calculateur de décomposition en fractions partielles
Décomposez toute expression rationnelle propre en une somme de fractions partielles plus simples — saisissez les polynômes du numérateur et du dénominateur et obtenez immédiatement la décomposition complète.
Saisissez les polynômes en notation standard (par ex. x^2 + 3x + 2). Le degré du numérateur doit être inférieur à celui du dénominateur.
Calculateur de décomposition en fractions partielles
Décomposez toute expression rationnelle propre en une somme de fractions partielles plus simples — saisissez les polynômes du numérateur et du dénominateur et obtenez immédiatement la décomposition complète.
À propos du calculateur de décomposition en fractions partielles
La décomposition en fractions partielles est une technique algébrique qui réécrit une expression rationnelle — une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont tous deux des polynômes — comme une somme de fractions plus simples. Cette méthode est l’inverse de la mise au même dénominateur : au lieu d’additionner des fractions, on découpe une fraction complexe. Le résultat est un ensemble de termes dont les intégrales, les transformées de Laplace inverses ou d’autres opérations sont beaucoup plus faciles à calculer.
Le théorème fondamental de l’algèbre garantit que tout polynôme sur les nombres réels peut s’écrire comme un produit de facteurs linéaires (x − r) pour les racines réelles r, et de facteurs quadratiques irréductibles (x² + px + q) pour les racines complexes conjuguées. La décomposition en fractions partielles consiste à factoriser le dénominateur puis à écrire la fraction initiale comme une somme de termes dont le dénominateur contient l’un de ces facteurs. Pour un facteur linéaire distinct (x − r), le terme correspondant est A/(x − r) pour une constante A. Pour un facteur linéaire répété (x − r)ⁿ, il faut n termes : A₁/(x − r) + A₂/(x − r)² + … + Aₙ/(x − r)ⁿ. Pour un facteur quadratique irréductible (x² + px + q), le terme est (Ax + B)/(x² + px + q).
Les constantes sont déterminées par la méthode des coefficients indéterminés : on multiplie les deux côtés de l’équation de décomposition par le dénominateur, puis on remplace x par des valeurs commodes (comme les racines) ou on compare les coefficients des mêmes puissances de x pour établir un système d’équations. La résolution de ce système donne les valeurs exactes de toutes les constantes.
Les fractions partielles sont indispensables en calcul intégral. L’intégrale de 1/(x − r) est ln|x − r| et celle de 1/(x − r)² est −1/(x − r), toutes deux calculables avec des formules élémentaires. Sans décomposition, intégrer une expression comme (5x − 4)/(x² − x − 2) exigerait de reconnaître une substitution peu évidente ; avec la décomposition, la même expression devient 2/(x − 2) + 3/(x + 1), chaque terme s’intégrant immédiatement.
Au-delà du calcul, les fractions partielles apparaissent en automatique lors du calcul de transformées de Laplace inverses pour obtenir les réponses temporelles de systèmes décrits par des fonctions de transfert ; en traitement du signal pour analyser les représentations en transformée en z des filtres numériques ; et en algèbre pour simplifier des expressions rationnelles complexes avant d’autres manipulations. Savoir mettre en place et résoudre le système d’équations pour les constantes inconnues est la compétence essentielle, et ce calculateur montre chaque étape pour vous permettre de suivre le raisonnement et de construire cette intuition.
Exemples de décomposition en fractions partielles
Exemples détaillés montrant des facteurs linéaires distincts, des dénominateurs cubiques et des numérateurs constants.
| Expression rationnelle | Décomposition | Observation clé |
|---|---|---|
| (5x − 4) / (x² − x − 2) | 2/(x − 2) + 3/(x + 1) | Le dénominateur se factorise en (x − 2)(x + 1). Deux facteurs linéaires distincts ; la méthode du cache donne A = 2, B = 3. |
| (x² + 12x + 12) / (x³ − 4x) | −3/x + 2/(x − 2) + 2/(x + 2) | Dénominateur = x(x − 2)(x + 2). Substituez x = 0, 2, −2 pour trouver les constantes. |
| 1 / (x² + x) | 1/x − 1/(x + 1) | Dénominateur = x(x + 1). Numérateur constant ; A = 1, B = −1 par substitution. |
| (8x² − 3x + 10) / (x³ − 2x² + 4x − 8) | 3/(x − 2) + (5x + 2)/(x² + 4) | Dénominateur = (x − 2)(x² + 4). Facteur linéaire + facteur quadratique irréductible. |
Comment utiliser le calculateur de décomposition en fractions partielles
- Saisissez le polynôme du numérateur dans le champ Numérateur P(x) en notation standard, par ex. 5x - 4 ou x^2 + 3.
- Saisissez le polynôme du dénominateur dans le champ Dénominateur Q(x), par ex. x^2 - x - 2.
- Vérifiez que le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur ; sinon, effectuez d’abord la division polynomiale.
- Cliquez sur Calculer. Le calculateur factorise le dénominateur et utilise la méthode de Heaviside pour déterminer toutes les constantes.
- Cliquez sur Réinitialiser pour effacer les deux champs et recommencer une nouvelle décomposition.
FAQ sur la décomposition en fractions partielles
Qu’est-ce que la décomposition en fractions partielles ?
La décomposition en fractions partielles réécrit une expression rationnelle P(x)/Q(x) comme une somme de fractions plus simples dont les dénominateurs sont des facteurs de Q(x). C’est l’inverse de l’addition de fractions à dénominateur commun, et cela rend l’expression beaucoup plus facile à intégrer ou à inverser.
Quand puis-je utiliser les fractions partielles ?
Vous pouvez les utiliser lorsque l’expression est une fonction rationnelle propre — c’est-à-dire lorsque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur. Si l’expression est impropre (degré du numérateur ≥ degré du dénominateur), faites d’abord la division pour obtenir un polynôme plus un reste propre, puis décomposez seulement le reste.
Comment trouver les constantes A, B, C ?
Multipliez les deux côtés par le dénominateur factorisé pour supprimer toutes les fractions, puis résolvez pour les constantes. La méthode la plus rapide consiste à substituer dans x les racines de chaque facteur linéaire (chaque racine annule tous les termes sauf un). Pour les facteurs quadratiques irréductibles, développez puis comparez les coefficients des mêmes puissances de x.
Que faire si le dénominateur a des facteurs répétés ?
Un facteur linéaire répété (x − r)ⁿ nécessite n termes distincts : A₁/(x − r) + A₂/(x − r)² + … + Aₙ/(x − r)ⁿ. Chaque puissance introduit une constante inconnue indépendante qu’il faut généralement déterminer en développant et en comparant les coefficients.
Pourquoi les facteurs quadratiques irréductibles ont-ils un numérateur linéaire (Ax + B) ?
Un facteur quadratique irréductible x² + px + q ne peut pas être factorisé en facteurs linéaires réels. Le terme en fractions partielles correspondant doit avoir un numérateur d’un degré inférieur au dénominateur, d’où la forme (Ax + B)/(x² + px + q) avec deux constantes inconnues A et B.
Quelle est la principale application des fractions partielles ?
L’application la plus courante est l’intégration en calcul : des fractions simples comme A/(x − r) s’intègrent en A·ln|x − r|, ce qui rend les intégrales autrement difficiles traitables. Les fractions partielles sont aussi importantes en ingénierie pour calculer les transformées de Laplace inverses des fonctions de transfert et les transformées en z inverses des filtres numériques.