Convertisseur de fractions binaires

Les fractions binaires étendent les entiers binaires au domaine des quantités non entières en utilisant des valeurs de position qui sont des puissances négatives de deux. De même que le système décimal attribue aux positions à droite du point décimal les dixièmes (10⁻¹), centièmes (10⁻²), millièmes (10⁻³), etc., le système binaire attribue à ces mêmes positions les demis (2⁻¹ = 0.5), quarts (2⁻² = 0.25), huitièmes (2⁻³ = 0.125), seizièmes (2⁻⁴ = 0.0625), etc. Chaque bit à droite du point binaire représente l’une de ces puissances décroissantes de deux. Convertir une fraction binaire en décimal est simple. Séparez le nombre au point binaire. Convertissez la partie entière avec la méthode standard : le bit le plus à droite vaut 2⁰, le suivant 2¹, et ainsi de suite vers la gauche. Pour la partie fractionnaire, le bit le plus à gauche après le point binaire est multiplié par 2⁻¹, le suivant par 2⁻², puis chaque bit suivant par les puissances négatives successives. Additionnez toutes les contributions pour obtenir la valeur décimale exacte. Par exemple, 101.101 en binaire vaut (1×4) + (0×2) + (1×1) + (1×0.5) + (0×0.25) + (1×0.125) = 5 + 0.5 + 0.125 = 5.625. Convertir une fraction décimale en binaire nécessite deux procédures distinctes. La partie entière se convertit par divisions répétées par 2, en enregistrant les restes. La partie fractionnaire se convertit par multiplications répétées par 2 : multipliez la fraction par 2, notez la partie entière du résultat (0 ou 1) comme prochain chiffre binaire, puis continuez avec la partie fractionnaire restante. Répétez jusqu’à ce que la fraction devienne zéro ou que la précision voulue soit atteinte. Pour 5.625 : entier 5 = 101₂ ; fraction 0.625 × 2 = 1.25 → bit 1 ; 0.25 × 2 = 0.5 → bit 0 ; 0.5 × 2 = 1.0 → bit 1 ; la fraction atteint zéro, donc le résultat est 101.101₂. Un point essentiel à comprendre est que toutes les fractions décimales n’ont pas une représentation binaire finie. Tout comme 1/3 ne peut pas s’écrire sous forme de décimal fini, de nombreuses fractions décimales simples — notamment 0.1, 0.2 et 0.3 — nécessitent une infinité de bits binaires pour être représentées exactement. C’est la cause profonde des erreurs d’arrondi en virgule flottante dans les ordinateurs. Le réglage de précision de ce convertisseur contrôle le nombre de bits fractionnaires calculés ; l’augmenter donne une approximation plus proche, mais peut ne jamais produire un résultat exact pour les fractions non terminées. Les fractions binaires sont omniprésentes en informatique. La norme IEEE 754 pour l’arithmétique en virgule flottante encode les nombres en simple et double précision comme des fractions binaires avec un bit initial 1 implicite et un exposant biaisé. Les processeurs de signal numérique représentent les données audio et image comme des fractions binaires à virgule fixe appelées nombres au format Q. Comprendre comment les valeurs décimales se transposent en fractions binaires est essentiel pour écrire du code bas niveau, travailler avec des systèmes embarqués ou déboguer des problèmes de précision numérique dans les logiciels.