Calculatrice règle de Cramer - Systèmes et déterminants
Résolvez des systèmes d’équations linéaires 2×2 et 3×3 avec la règle de Cramer. Saisissez la matrice des coefficients et les constantes pour obtenir des solutions exactes avec les étapes de déterminants.
Sélectionnez la taille du système, saisissez la matrice des coefficients et le vecteur des constantes, puis cliquez sur Résoudre pour voir la solution et tous les déterminants intermédiaires.
Calculatrice règle de Cramer - Systèmes et déterminants
Résolvez des systèmes d’équations linéaires 2×2 et 3×3 avec la règle de Cramer. Saisissez la matrice des coefficients et les constantes pour obtenir des solutions exactes avec les étapes de déterminants.
Saisissez les lignes séparées par des points-virgules (;) et les éléments par des virgules (,)
Saisissez les constantes séparées par des virgules (,)
À propos de la calculatrice de règle de Cramer
La règle de Cramer est un théorème d’algèbre linéaire qui fournit une formule explicite pour la solution d’un système d’équations linéaires ayant autant d’équations que d’inconnues, lorsque ce système admet une solution unique. Nommée d’après le mathématicien suisse Gabriel Cramer, qui l’a publiée en 1750, la règle exprime la valeur de chaque inconnue comme le rapport de deux déterminants : le déterminant du numérateur s’obtient à partir de la matrice des coefficients en remplaçant la colonne correspondant à cette inconnue par le vecteur des constantes, tandis que le dénominateur est le déterminant de la matrice des coefficients d’origine.
Pour un système 2×2 ax + by = e, cx + dy = f, la matrice des coefficients est A = [[a,b],[c,d]] et le déterminant D = ad − bc. Si D ≠ 0, la solution unique est x = (ed − bf)/D et y = (af − ce)/D. Pour un système 3×3, quatre déterminants doivent être calculés : un pour la matrice des coefficients et un pour la matrice substituée de chaque variable.
La condition D ≠ 0 est essentielle. Lorsque D = 0, la matrice des coefficients est singulière, ce qui signifie que le système n’a soit aucune solution (les équations sont contradictoires), soit une infinité de solutions (les équations sont redondantes). La règle de Cramer ne permet pas de déterminer lequel de ces cas s’applique : pour les systèmes singuliers, il faut utiliser d’autres méthodes, comme l’élimination de Gauss ou la réduction par lignes.
La règle de Cramer possède des propriétés théoriques importantes même lorsqu’elle n’est pas la méthode de calcul la plus efficace. Elle donne une expression fermée explicite pour chaque variable, ce qui est utile en algèbre symbolique, en analyse de sensibilité et dans les démonstrations. Par exemple, lorsque tous les coefficients et constantes sont des entiers, la règle garantit que le numérateur et le dénominateur de chaque solution sont également des entiers : des entrées rationnelles produisent donc toujours des solutions rationnelles. Cette propriété de préservation de la rationalité est exploitée dans le calcul arithmétique exact.
Du point de vue du calcul, la règle de Cramer est pratique pour les systèmes 2×2 et 3×3, car les déterminants se calculent rapidement. Pour les systèmes plus grands, l’élimination de Gauss est bien plus efficace (O(n³) contre O(n!) pour le développement naïf des déterminants). Mais pour les petits systèmes traités par cette calculatrice, la règle de Cramer offre une compréhension claire, étape par étape, du processus de résolution. Les valeurs des déterminants affichées dans le panneau de résultat vous permettent de vérifier chaque étape indépendamment.
Exemples de règle de Cramer
Systèmes de différentes tailles avec leurs solutions par déterminants étape par étape.
| Système | Solution | Notes |
|---|---|---|
| 2x + y = 5, x + 3y = 4 | x = 2.2, y = 0.6 | Matrice : 2,1;1,3, constantes : 5,4 — D=5, Dx=11, Dy=3 → x=2.2, y=0.6. |
| 2x + 3y = 13, x − y = 0 | x = 2.6, y = 2.6 | Matrice : 2,3;1,-1 — les deux variables sont égales. D=−5, Dx=−13, Dy=−13 → x=y=2.6. |
| x + 2y + 3z = 14, 2x + y + 2z = 10, 3x + 2y + z = 10 | x = 1, y = 2, z = 3 | Système 3×3 avec solution entière. D=8, Dx=8, Dy=16, Dz=24 → x=1, y=2, z=3. |
Comment utiliser la calculatrice de règle de Cramer
- Sélectionnez la taille du système : 2×2 pour les systèmes à deux variables ou 3×3 pour les systèmes à trois variables.
- Saisissez la matrice des coefficients dans le champ « Matrice des coefficients (A) ». Séparez les éléments d’une même ligne par des virgules et les lignes par des points-virgules. Par exemple : « 2,3;1,-1 » représente [[2,3],[1,−1]].
- Saisissez le vecteur des constantes dans le champ « Vecteur des constantes (b) » sous forme de valeurs séparées par des virgules, correspondant au nombre d’équations.
- Cliquez sur « Résoudre le système ». Le résultat affiche la valeur de chaque variable ainsi que les déterminants D, Dx, Dy (et Dz pour les systèmes 3×3).
- Si le déterminant est nul, le système est singulier et n’a pas de solution unique ; la calculatrice vous l’indiquera au lieu d’afficher une solution.
FAQ sur la règle de Cramer
Qu’est-ce que la règle de Cramer ?
La règle de Cramer est une formule permettant de résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues lorsque la matrice des coefficients est inversible (non singulière). Chaque inconnue est exprimée comme le rapport de deux déterminants : le déterminant principal de la matrice des coefficients au dénominateur, et un déterminant modifié — où la colonne de cette variable est remplacée par le vecteur des constantes — au numérateur. Elle fournit une solution explicite sous forme fermée plutôt qu’une solution algorithmique.
Quand la règle de Cramer échoue-t-elle ?
La règle de Cramer échoue lorsque le déterminant de la matrice des coefficients est nul. Cela indique une matrice singulière, ce qui signifie que le système n’a soit aucune solution (incohérent : les équations se contredisent), soit une infinité de solutions (dépendant : certaines équations sont des combinaisons redondantes d’autres). Dans tous les cas, vous devez utiliser l’élimination de Gauss ou la réduction par lignes pour déterminer la nature exacte de l’ensemble des solutions.
La règle de Cramer est-elle efficace pour les grands systèmes ?
Non. La règle de Cramer est coûteuse en calcul pour les grands systèmes. Calculer un déterminant par développement de cofacteurs nécessite O(n!) opérations, ce qui la rend impraticable pour les systèmes dépassant environ 4×4. L’élimination de Gauss résout un système n×n en O(n³) opérations, ce qui est largement plus efficace. La règle de Cramer convient surtout aux systèmes 2×2 et 3×3, ou aux travaux théoriques et symboliques où une expression fermée est précieuse.
Quel est le format d’entrée de la matrice ?
Saisissez les lignes séparées par des points-virgules et les éléments de chaque ligne séparés par des virgules. Pour le système 2×2 2x + 3y = 5, x − y = 4, saisissez « 2,3;1,-1 » pour la matrice et « 5,4 » pour les constantes. Pour un système 3×3, utilisez trois lignes : « 1,2,3;4,5,6;7,8,10 ». Les nombres négatifs utilisent le signe moins standard.
La règle de Cramer peut-elle gérer des coefficients fractionnaires ou décimaux ?
Oui. Cette calculatrice accepte tous les coefficients réels, y compris les décimaux et les fractions saisies sous forme décimale (par exemple 0.5 au lieu de 1/2). L’arithmétique sous-jacente utilise le flottant double précision IEEE 754, qui offre environ 15–16 chiffres significatifs de précision. Pour les systèmes avec coefficients entiers exacts ou fractions simples, les résultats seront exacts dans les limites de l’arrondi.
Comment vérifier ma solution ?
Remplacez x, y (et z) par les valeurs calculées dans chaque équation d’origine et vérifiez que les deux membres sont égaux. Par exemple, si vous avez résolu 2x + y = 5 et x + 3y = 4 et obtenu x = 2.2, y = 0.6, vérifiez : 2(2.2) + 0.6 = 5 ✓ et 2.2 + 3(0.6) = 4 ✓. Les valeurs de déterminants affichées dans le panneau de résultat vous permettent aussi de vérifier le calcul de la règle de Cramer étape par étape.