Calculatrice de radicaux - simplifiez les racines carrées, cubiques et n-ièmes
Simplifiez toute expression radicale — racines carrées, cubiques et n-ièmes — en factorisant les puissances parfaites. Obtenez instantanément la forme simplifiée.
Saisissez un radicande (le nombre sous la racine) et l’indice (le degré de la racine), puis cliquez sur Simplifier le radical pour voir la forme simplifiée.
Calculatrice de radicaux - simplifiez les racines carrées, cubiques et n-ièmes
Simplifiez toute expression radicale — racines carrées, cubiques et n-ièmes — en factorisant les puissances parfaites. Obtenez instantanément la forme simplifiée.
À propos de la calculatrice de radicaux
Une expression radicale se compose d’un signe radical (√), d’un radicande (le nombre sous le signe) et, éventuellement, d’un indice, écrit en petit en haut à gauche du radical pour indiquer le degré de la racine. La racine carrée est la plus familière : son indice implicite est 2. Une racine cubique a pour indice 3, une racine quatrième a pour indice 4, et ainsi de suite. La notation générale ⁿ√a désigne la racine n-ième de a, c’est-à-dire le nombre b tel que bⁿ = a.
Simplifier un radical consiste à le réécrire de sorte qu’aucune puissance parfaite d’ordre n ne reste sous le signe radical. La méthode repose sur la règle du produit : ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b. Pour simplifier ⁿ√a, on factorise a en une puissance parfaite d’ordre n et un facteur restant. Par exemple, pour simplifier √50, on remarque que 50 = 25 × 2 = 5² × 2, donc √50 = √(5²) · √2 = 5√2.
Pour les racines d’ordre supérieur, le même principe s’applique, mais il faut chercher des facteurs qui sont des puissances parfaites d’ordre n. Pour simplifier ∛54, on factorise 54 = 27 × 2 = 3³ × 2, donc ∛54 = ∛(3³) · ∛2 = 3∛2. Pour une racine cinquième, ⁵√96 = ⁵√(32 × 3) = ⁵√(2⁵ × 3) = 2·⁵√3.
Cette calculatrice effectue automatiquement cet algorithme de factorisation. Elle trouve le plus grand facteur qui est une puissance parfaite d’ordre n et en extrait la racine n-ième comme coefficient, en laissant le facteur restant sous le radical. Si le radicande lui-même est une puissance parfaite d’ordre n, le résultat sera un entier sans radical.
La simplification des radicaux est essentielle en algèbre, car les formes simplifiées sont plus faciles à comparer, à combiner et à réutiliser dans d’autres calculs. Additionner des radicaux comme 3√2 + 5√2 = 8√2 ne fonctionne que lorsque les radicandes restants sont identiques ; il faut d’abord simplifier pour savoir quels termes peuvent être regroupés. En géométrie, les radicaux apparaissent constamment : la diagonale d’un carré unité vaut √2, la hauteur d’un triangle équilatéral de côté a vaut (a√3)/2, et le nombre d’or fait intervenir √5. Maîtriser la simplification des radicaux est donc un prérequis pour l’algèbre, la trigonométrie et le calcul différentiel et intégral.
Exemples de calcul de radicaux
Cliquez sur un exemple pour le charger dans la calculatrice.
| Entrée | Résultat simplifié | Méthode |
|---|---|---|
| √50 (radicand=50, index=2) | 5√2 | Factorisez 50 = 5² × 2. Extrayez √(5²) = 5 à l’extérieur, en laissant √2 à l’intérieur. Décimal : ≈ 7.0711. |
| ∛54 (radicand=54, index=3) | 3∛2 | Factorisez 54 = 3³ × 2. Extrayez ∛(3³) = 3 à l’extérieur, en laissant ∛2 à l’intérieur. Décimal : ≈ 3.7798. |
| √144 (radicand=144, index=2) | 12 | 144 = 12² est un carré parfait, donc √144 = 12 exactement. Aucun radical ne reste. |
| ⁵√96 (radicand=96, index=5) | 2·⁵√3 | Factorisez 96 = 2⁵ × 3. Extrayez la puissance parfaite d’ordre 5 : ⁵√(2⁵) = 2 à l’extérieur, ⁵√3 à l’intérieur. |
Comment utiliser la calculatrice de radicaux
- Saisissez le radicande, c’est-à-dire le nombre sous le signe radical, dans le champ Radicande. Il doit s’agir d’un entier positif (les racines d’indice pair de nombres négatifs sont complexes).
- Saisissez l’indice, ou degré de la racine, dans le champ Indice. Utilisez 2 pour les racines carrées, 3 pour les racines cubiques, ou tout entier ≥ 2 pour les racines d’ordre supérieur.
- Cliquez sur Simplifier le radical. Le résultat affiche la forme simplifiée comme un coefficient multiplié par le radical restant, ainsi qu’une approximation décimale.
- Si le radicande est une puissance parfaite d’ordre n, le résultat sera un entier sans signe radical.
- Cliquez sur Réinitialiser pour effacer les champs et simplifier une autre expression radicale.
FAQ de la calculatrice de radicaux
Que signifie simplifier un radical ?
Simplifier un radical signifie le réécrire de sorte que le radicande ne contienne plus de facteurs qui sont des puissances parfaites d’ordre n sous le signe radical. La forme simplifiée se compose d’un coefficient extrait des facteurs parfaits multiplié par un radical résiduel. Par exemple, √72 se simplifie en 6√2, car 72 = 36 × 2 et √36 = 6.
Comment simplifier une racine carrée à la main ?
Cherchez le plus grand carré parfait qui divise le radicande. Prenez sa racine carrée comme coefficient et laissez le facteur restant sous la racine. Pour √200 : 200 = 100 × 2 et √100 = 10, donc √200 = 10√2. On peut aussi factoriser en nombres premiers et regrouper les paires : 200 = 2³ × 5² = (2 × 5²) × 2 → 10√2.
Puis-je simplifier un radical dont le radicande est négatif ?
Pour les racines d’indice impair (racine cubique, racine cinquième, etc.), un radicande négatif est valide : ∛-8 = -2 car (-2)³ = -8. Pour les racines d’indice pair (racine carrée, racine quatrième, etc.), un radicande négatif produit un nombre imaginaire (complexe), hors du champ de cette calculatrice. Entrez des nombres positifs pour les indices pairs.
Qu’est-ce qu’un carré parfait et comment aide-t-il à simplifier les radicaux ?
Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un entier : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, … Identifier les facteurs carrés parfaits du radicande permet d’extraire des entiers de sous le radical. De même, les cubes parfaits (1, 8, 27, 64, 125, …) servent à simplifier les racines cubiques.
Quelle est la règle du produit pour les radicaux ?
La règle du produit stipule que ⁿ√(a × b) = ⁿ√a × ⁿ√b pour a et b non négatifs. C’est la règle centrale de la simplification : on sépare le radicande en un facteur de puissance parfaite et un reste, on prend la racine du facteur parfait, puis on laisse le reste sous le signe radical.
Pourquoi vois-je parfois des radicaux écrits avec un coefficient comme 3√5 ?
La notation 3√5 (ou 3·√5) signifie trois fois la racine carrée de cinq. Le coefficient 3 a été extrait de sous le signe radical parce qu’il provenait d’un facteur carré parfait. Cette forme s’appelle la forme radicale simplifiée et facilite l’addition de radicaux semblables : 3√5 + 2√5 = 5√5, tout comme on combine des termes semblables en algèbre.