Calculatrice de produit tensoriel

Le produit tensoriel, aussi appelé produit extérieur dans le contexte des vecteurs, est une opération fondamentale de l’algèbre linéaire qui prend deux vecteurs et produit une matrice. Étant donné un vecteur u de m composantes et un vecteur v de n composantes, leur produit tensoriel u ⊗ v est une matrice m × n dont l’élément à la ligne i et la colonne j vaut uᵢ multiplié par vⱼ. Cela contraste fortement avec le produit scalaire, qui réduit deux vecteurs à un seul scalaire, ou avec le produit vectoriel, qui ne s’applique qu’aux vecteurs tridimensionnels et renvoie un autre vecteur. Mathématiquement, si u = [u₁, u₂, …, uₘ] et v = [v₁, v₂, …, vₙ], alors (u ⊗ v)ᵢⱼ = uᵢvⱼ pour toute paire valide (i, j). Le calcul a une complexité temporelle O(mn), ce qui le rend efficace même pour des vecteurs de taille modérée. Le produit tensoriel est bilinéaire : multiplier l’un des vecteurs par un facteur multiplie le résultat par le même facteur, et il distribue sur l’addition vectorielle. Le produit tensoriel n’est pas commutatif : u ⊗ v et v ⊗ u donnent généralement des matrices différentes (l’une est m × n, l’autre n × m), sauf si m = n et qu’une relation particulière existe. Le premier vecteur détermine toujours les lignes et le second détermine toujours les colonnes. Cette asymétrie est particulièrement importante en physique ou en apprentissage automatique, où l’ordre porte une signification physique ou sémantique. En mécanique quantique, les produits tensoriels sont indispensables pour décrire des systèmes composés. Lorsque deux systèmes quantiques sont combinés, l’espace d’états du système composé est le produit tensoriel des espaces d’états individuels. Par exemple, un système à deux qubits possède un espace d’états à 4 dimensions qui est le produit tensoriel de deux espaces de qubit à 2 dimensions. L’intrication quantique apparaît précisément lorsqu’un état composé ne peut pas être écrit comme un simple produit tensoriel d’états individuels. En apprentissage automatique et en science des données, les produits tensoriels (et leurs généralisations d’ordre supérieur, appelées tenseurs) sous-tendent le mécanisme d’attention des modèles Transformer, les opérations de croisement de caractéristiques dans les systèmes de recommandation et les convolutions séparables en traitement d’images. Un noyau de flou gaussien, par exemple, est le produit tensoriel d’un filtre gaussien horizontal 1D avec un filtre gaussien vertical 1D, ce qui permet un calcul séparé efficace. En traitement du signal, représenter des filtres multidimensionnels comme des produits tensoriels de filtres 1D permet d’importants gains de calcul. La représentation sous forme de vecteur aplati produite par cette calculatrice est particulièrement utile lorsqu’il faut transmettre le résultat à une opération suivante qui attend une entrée 1D, comme une couche entièrement connectée d’un réseau neuronal.