Calculatrice d’orthogonalisation de Gram-Schmidt

Le procédé de Gram-Schmidt est l’un des algorithmes les plus importants de l’algèbre linéaire. Étant donné un ensemble de vecteurs linéairement indépendants, il produit systématiquement un nouvel ensemble de vecteurs mutuellement orthogonaux qui engendrent le même sous-espace. Lorsque chacun de ces vecteurs orthogonaux est en plus divisé par sa propre longueur pour devenir un vecteur unitaire, on obtient une base orthonormale. Les bases orthonormales sont la référence en algèbre linéaire, car elles simplifient presque tous les calculs impliquant des projections, des rotations, des réflexions et des décompositions. L’algorithme procède de manière inductive. Le premier vecteur de sortie est simplement le premier vecteur d’entrée, inchangé. Le deuxième vecteur de sortie est le deuxième vecteur d’entrée dont on a retranché la projection sur le premier vecteur de sortie — cela garantit que le deuxième est perpendiculaire au premier. Le troisième vecteur de sortie est le troisième vecteur d’entrée dont on a retiré les projections sur les deux premiers vecteurs de sortie. En général, le k-ième vecteur de sortie est le k-ième vecteur d’entrée moins la somme de ses projections sur tous les vecteurs de sortie précédents. La formule de projection d’un vecteur v sur un vecteur u déjà orthogonalisé est (v·u / u·u) × u, où · désigne le produit scalaire. Si, au cours de ce processus, le résultat après soustraction de toutes les projections est le vecteur nul, cela signifie que le vecteur d’entrée était linéairement dépendant des précédents et il est simplement supprimé. La calculatrice le gère automatiquement et affiche le rang de l’ensemble d’entrée, c’est-à-dire le nombre de vecteurs réellement indépendants. En pratique, un petit seuil numérique est utilisé pour détecter les vecteurs presque nuls dus à l’arrondi en virgule flottante. La base orthonormale est obtenue en divisant chaque vecteur orthogonal de sortie par sa norme euclidienne (la racine carrée de son produit scalaire avec lui-même). Le résultat est un ensemble de vecteurs unitaires, tous de longueur exactement 1, pointant dans des directions mutuellement perpendiculaires. Cet ensemble orthonormal forme ce qu’on appelle un repère orthonormal pour le sous-espace engendré par les entrées d’origine. Les applications du procédé de Gram-Schmidt couvrent pratiquement tous les domaines quantitatifs. En algèbre linéaire numérique, il sous-tend la décomposition QR, utilisée pour résoudre des problèmes de moindres carrés et calculer des valeurs propres. En traitement du signal, il sert à construire des banques de filtres orthogonales et à séparer des composantes indépendantes du signal. En mécanique quantique, l’espace des états d’un système quantique est un espace de Hilbert et les observables physiques correspondent à des bases orthonormales de vecteurs propres. En statistiques et en apprentissage automatique, l’analyse en composantes principales (ACP) peut être comprise comme la recherche d’une base orthonormale alignée sur les directions de variance maximale d’un jeu de données. En infographie, la construction d’un repère de caméra ou d’objet requiert trois vecteurs unitaires mutuellement perpendiculaires, tâche que Gram-Schmidt résout naturellement. Cette calculatrice accepte des vecteurs de toute dimension, gère proprement les entrées linéairement dépendantes et affiche côte à côte les vecteurs orthogonaux intermédiaires et les vecteurs orthonormaux finaux pour que vous puissiez voir chaque étape de la transformation.