Calculatrice de multiplication de matrices
Multipliez instantanément deux matrices de dimensions compatibles — obtenez la matrice produit avec validation automatique pour l’algèbre linéaire et l’ingénierie.
Saisissez la matrice A et la matrice B en utilisant des points-virgules pour les lignes et des virgules pour les colonnes, puis cliquez sur Calculer pour obtenir leur produit.
Calculatrice de multiplication de matrices
Multipliez instantanément deux matrices de dimensions compatibles — obtenez la matrice produit avec validation automatique pour l’algèbre linéaire et l’ingénierie.
Séparez les lignes par des points-virgules (;) et les colonnes par des virgules (,). Pour A × B, le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B.
À propos de la calculatrice de multiplication de matrices
La multiplication matricielle est l’une des opérations centrales de l’algèbre linéaire. Contrairement à l’addition, qui combine simplement les éléments correspondants, la multiplication est définie par une règle de produit scalaire reliant les lignes de la première matrice aux colonnes de la seconde. Le résultat décrit la composition de deux transformations linéaires : appliquer B d’abord puis A produit le même effet qu’appliquer la matrice unique AB.
Pour que le produit A × B soit défini, le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B. Si A est une matrice m×n et B une matrice n×p, alors le produit C = A × B est une matrice m×p. L’élément C[i][j] se calcule comme le produit scalaire de la ligne i de A avec la colonne j de B : C[i][j] = Σ(k=0 to n−1) A[i][k] × B[k][j]. Cela signifie que chaque élément du résultat dépend d’une ligne entière de A et d’une colonne entière de B.
La multiplication matricielle n’est pas commutative : en général, AB ≠ BA, et BA peut même ne pas être défini si les dimensions de A et B ne le permettent pas. En revanche, elle est associative : (AB)C = A(BC), ce qui signifie que vous pouvez regrouper une chaîne de multiplications dans n’importe quel ordre sans changer le résultat final.
Multiplier par la matrice identité ne change aucune matrice : AI = IA = A. Cela reflète le rôle que joue 1 dans la multiplication ordinaire. La matrice identité comporte 1 sur la diagonale principale et 0 partout ailleurs.
Dans les applications, la multiplication matricielle condense une grande variété de calculs en une notation compacte. Les graphiques informatiques l’utilisent pour appliquer des rotations, des translations et des projections en perspective à des coordonnées 3D. La robotique utilise des chaînes de matrices de rotation pour transformer des repères. En apprentissage automatique, le passage avant d’une couche de réseau neuronal est essentiellement une multiplication matrice-vecteur : output = W × input + bias. Les chaînes de Markov, les calculs d’adjacence de graphes et la propagation des covariances en statistique reposent également sur la multiplication matricielle. Comprendre cette opération est donc une compétence essentielle pour toute personne travaillant dans un domaine quantitatif.
Exemples de multiplication de matrices
Quatre exemples montrant des produits de matrices carrées et non carrées avec des calculs élément par élément.
| Entrée | Produit | Notes |
|---|---|---|
| A = [[1,2],[3,4]], B = [[2,0],[1,2]] | [[4,4],[10,8]] | C[0][0] = 1×2 + 2×1 = 4. C[0][1] = 1×0 + 2×2 = 4. C[1][0] = 3×2 + 4×1 = 10. C[1][1] = 3×0 + 4×2 = 8. |
| A = [[1,2,3]], B = [[4],[5],[6]] | [[32]] | A est 1×3 et B est 3×1. Le produit est 1×1 : 1×4 + 2×5 + 3×6 = 4+10+18 = 32. C’est le produit scalaire des deux vecteurs. |
| A = [[1,0],[0,1]], B = [[7,3],[2,8]] | [[7,3],[2,8]] | Multiplier par la matrice identité 2×2 laisse B inchangée. L’identité est l’élément neutre multiplicatif de la multiplication matricielle. |
| A = [[1,2],[3,4],[5,6]], B = [[7,8,9],[10,11,12]] | [[27,30,33],[61,68,75],[95,106,117]] | A est 3×2 et B est 2×3, donc le produit est 3×3. C[0][0] = 1×7 + 2×10 = 27. C[2][2] = 5×9 + 6×12 = 45+72 = 117. |
Comment utiliser la calculatrice de multiplication de matrices
- Saisissez la matrice A dans le premier champ. Utilisez des virgules pour séparer les éléments d’une ligne et des points-virgules pour séparer les lignes. Par exemple, 1,2;3,4 représente [[1,2],[3,4]].
- Saisissez la matrice B dans le second champ avec le même format. Pour que A × B fonctionne, le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B.
- Cliquez sur Calculer. La matrice produit C = A × B s’affiche en dessous, avec des dimensions égales à (lignes de A) × (colonnes de B).
- Si nécessaire, vérifiez une entrée à la main : choisissez n’importe quelle position [i][j] du résultat et calculez le produit scalaire de la ligne i de A avec la colonne j de B.
- Cliquez sur Réinitialiser pour effacer les deux entrées et repartir sur un nouveau calcul, ou modifiez l’une des matrices pour voir comment les changements affectent le produit.
Foire aux questions
Quand peut-on multiplier deux matrices ?
Deux matrices A et B peuvent être multipliées (comme A × B) uniquement lorsque le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Si A est m×n et B est n×p, le produit existe et c’est une matrice m×p. Si cette condition de dimensions internes n’est pas respectée, la multiplication n’est pas définie.
La multiplication matricielle est-elle commutative ?
Non. En général, AB ≠ BA, même lorsque les deux produits sont définis. Par exemple, si A représente une rotation et B un cisaillement, appliquer ces opérations dans un ordre différent produit des résultats différents. Cette non-commutativité est l’une des caractéristiques qui distinguent l’algèbre matricielle de l’arithmétique ordinaire.
Qu’est-ce que la matrice identité ?
La matrice identité I est une matrice carrée avec 1 sur la diagonale principale et 0 partout ailleurs. Multiplier n’importe quelle matrice A par I renvoie toujours A inchangée : AI = IA = A. La matrice identité joue en multiplication matricielle le même rôle que le nombre 1 en multiplication scalaire.
Comment la multiplication matricielle est-elle utilisée en apprentissage automatique ?
Dans les réseaux neuronaux, le passage avant d’une couche entièrement connectée se calcule comme output = W × input + bias, où W est la matrice de poids et input un vecteur colonne. Lors de la rétropropagation, les gradients sont propagés à l’aide de multiplications par des matrices transposées. Les calculs par lots étendent cela à la multiplication matrice-matrice, ce qui rend les GPU très efficaces pour l’entraînement des réseaux neuronaux.
Quelle est la différence entre la multiplication élément par élément et la multiplication matricielle ?
La multiplication élément par élément (produit de Hadamard) multiplie les éléments correspondants de deux matrices de même taille : (A ⊙ B)[i][j] = A[i][j] × B[i][j]. La multiplication matricielle utilise des produits scalaires de lignes et de colonnes : (AB)[i][j] = Σ A[i][k] × B[k][j]. Ce sont des opérations différentes, avec des exigences et des résultats différents.
Peut-on multiplier des matrices non carrées ?
Oui. Les matrices non carrées peuvent être multipliées tant que les dimensions internes correspondent. Par exemple, une matrice 2×3 multipliée par une matrice 3×4 produit une matrice 2×4. La matrice résultat a le nombre de lignes de la première matrice et le nombre de colonnes de la seconde. Les produits non carrés sont très courants en pratique — par exemple, un lot de vecteurs d’entrée (n×d) multiplié par une matrice de poids (d×k) produit les sorties de la couche (n×k).