Calculatrice de multiplication binaire

La multiplication binaire suit la même logique positionnelle que la multiplication posée en décimal, mais avec des règles par chiffre beaucoup plus simples. En décimal, chaque chiffre peut aller de 0 à 9, ce qui oblige à mémoriser une table de multiplication 10×10. En binaire, chaque chiffre vaut 0 ou 1 ; les seules règles sont donc : 0 × 0 = 0, 0 × 1 = 0, 1 × 0 = 0 et 1 × 1 = 1. La complexité ne réside pas dans la multiplication des bits individuels, mais dans le décalage correct et l’addition des produits partiels. La procédure de multiplication posée en binaire fonctionne ainsi. Écrivez les deux nombres l’un au-dessus de l’autre, en désignant l’un comme multiplicande et l’autre comme multiplicateur. Pour chaque bit du multiplicateur, en commençant par le bit le plus à droite (le moins significatif), générez un produit partiel : si le bit du multiplicateur vaut 1, le produit partiel est le multiplicande décalé vers la gauche selon la position du bit ; si le bit vaut 0, le produit partiel est entièrement composé de zéros. Additionnez tous les produits partiels avec l’addition binaire, en propageant les retenues si nécessaire. La somme finale est le produit binaire. Par exemple, pour multiplier 1011 par 101 : le bit le plus à droite de 101 vaut 1, donc le premier produit partiel est 1011 (décalé de 0 position). Le bit du milieu vaut 0, ce qui donne 0000 décalé d’une position (en contexte, effectivement 00000). Le bit le plus à gauche vaut 1, donc le troisième produit partiel est 1011 décalé de 2 positions, soit 101100. En additionnant 1011 + 0000 + 101100 = 110111, ce qui vaut 55 en décimal, on confirme que 11 × 5 = 55. La multiplication binaire se transpose directement au matériel : l’algorithme de décalage et addition est implémenté dans l’unité de multiplication entière de chaque CPU, ainsi que dans les FPGA et les ASIC personnalisés. Les processeurs modernes utilisent des variantes optimisées, comme l’algorithme de Booth, les arbres de Wallace et les multiplicateurs de Dadda, afin de réduire le nombre de produits partiels et d’accélérer l’addition finale. Comprendre le processus fondamental de décalage et addition aide les ingénieurs logiciels à raisonner sur les performances, le dépassement de capacité et les représentations binaires qui sous-tendent toute l’arithmétique entière en informatique. Le dépassement de capacité est un point critique. Si les deux opérandes sont des entiers sur n bits, leur produit peut nécessiter jusqu’à 2n bits. Une multiplication 32 bits × 32 bits peut produire un résultat sur 64 bits, et les instructions matérielles de multiplication fournissent souvent séparément les moitiés haute et basse du produit précisément pour cette raison. Cette calculatrice fonctionne avec des entiers binaires de longueur arbitraire et affiche le produit complet sans troncature.