Calculatrice d’inéquations quadratiques
Analysez et tracez des inéquations quadratiques de la forme ax² + bx + c op 0, avec racines, sommet, ensemble solution et notation d’intervalles.
Saisissez les coefficients a, b, c et choisissez le signe de l’inéquation pour analyser la parabole et déterminer l’ensemble solution.
Calculatrice d’inéquations quadratiques
Analysez et tracez des inéquations quadratiques de la forme ax² + bx + c op 0, avec racines, sommet, ensemble solution et notation d’intervalles.
À propos de la calculatrice d’inéquations quadratiques
Une inéquation quadratique est une inégalité qui met en jeu une expression quadratique — c’est-à-dire un polynôme de degré 2 — comparée à une valeur à l’aide de <, ≤, > ou ≥. La forme la plus courante est ax² + bx + c > 0 ou ax² + bx + c < 0, avec a ≠ 0. Contrairement à une équation quadratique, qui cherche des valeurs précises de x rendant l’expression égale à zéro, une inéquation quadratique cherche toutes les valeurs de x qui rendent l’expression positive, négative, non positive ou non négative. La réponse est généralement un intervalle ou une réunion d’intervalles sur la droite réelle.
La clé pour résoudre une inéquation quadratique est de comprendre la parabole y = ax² + bx + c. Le signe de a détermine si la parabole est ouverte vers le haut (a > 0) ou vers le bas (a < 0). Les intersections avec l’axe des x — les racines de l’équation ax² + bx + c = 0 correspondante — sont les points où la parabole coupe ou touche l’axe des x. Le discriminant Δ = b² − 4ac indique le nombre de racines réelles : si Δ > 0, il y a deux racines réelles distinctes ; si Δ = 0, il y en a exactement une (racine double) ; si Δ < 0, il n’y a aucune racine réelle.
Pour résoudre ax² + bx + c > 0 lorsque Δ > 0 et a > 0 : la parabole est ouverte vers le haut et passe sous l’axe des x entre ses deux racines. L’expression est donc positive en dehors des racines, c’est-à-dire pour x < r₁ ou x > r₂. Pour l’inéquation < 0 dans les mêmes conditions, la solution est l’intervalle entre les racines : r₁ < x < r₂. Lorsque a < 0, la parabole est ouverte vers le bas et ces cas sont inversés.
Lorsque Δ = 0, il n’y a qu’un seul point de contact. Pour a > 0, l’expression est ≥ 0 pour tout x (en touchant zéro à la racine double) et n’est jamais < 0. Lorsque Δ < 0 et a > 0, la parabole ne coupe jamais l’axe des x et reste entièrement au-dessus, donc ax² + bx + c > 0 pour tout x réel et l’inéquation < 0 n’a aucune solution.
Les inéquations quadratiques interviennent en mouvement de projectile (quand le projectile est-il au-dessus d’une certaine hauteur ?), en optimisation (pour quelles entrées le coût dépasse-t-il le revenu ?), en traitement du signal (bandes de fréquences) et en ingénierie des tolérances. La formule du discriminant b² − 4ac et la formule quadratique x = (−b ± √Δ) / (2a) sont les deux outils centraux de l’analyse.
Cette calculatrice accepte les coefficients a, b et c ainsi que le signe de l’inéquation, puis calcule le discriminant, trouve les racines réelles éventuelles, détermine le sommet et décrit l’ensemble solution à la fois en langage courant et en notation d’intervalles. Le sens d’ouverture de la parabole est aussi indiqué pour aider à visualiser le graphique.
Exemples d’inéquations quadratiques
Quatre cas couvrant des paraboles ouvertes vers le haut et vers le bas, deux racines distinctes et une racine double.
| Inéquation | Ensemble solution | Remarques |
|---|---|---|
| x² − 4x + 3 > 0 (a=1, b=−4, c=3) | (-∞, 1) ∪ (3, ∞) | La parabole est ouverte vers le haut, avec des racines en x=1 et x=3. L’expression est positive à l’extérieur des racines. |
| −x² + 2x + 3 ≤ 0 (a=−1, b=2, c=3) | (-∞, −1] ∪ [3, ∞) | La parabole est ouverte vers le bas, avec des racines en x=−1 et x=3. L’expression est non positive à l’extérieur des racines. |
| 2x² + 3x + 4 < 0 (a=2, b=3, c=4) | Aucune solution | Le discriminant Δ = 9 − 32 = −23 < 0 et a > 0, donc l’expression est toujours positive. |
| x² − 6x + 9 ≥ 0 (a=1, b=−6, c=9) | Tous les nombres réels | Racine double en x=3 (un carré parfait). L’expression vaut 0 uniquement en x=3 et est positive partout ailleurs. |
Comment utiliser la calculatrice d’inéquations quadratiques
- Saisissez le coefficient a (terme en x²), b (terme en x) et c (constante). Le coefficient a ne doit pas être nul.
- Choisissez le signe de l’inéquation dans la liste déroulante : >, ≥, < ou ≤.
- Cliquez sur « Tracer l’inéquation ». La calculatrice calcule le discriminant, trouve les racines éventuelles, localise le sommet et détermine l’ensemble solution complet.
- Lisez l’ensemble solution en notation d’intervalles dans le panneau de résultat. Le symbole ∪ signifie que la solution est composée de deux intervalles séparés.
- Utilisez Réinitialiser pour effacer tous les champs et commencer un nouveau problème.
FAQ de la calculatrice d’inéquations quadratiques
Qu’est-ce qu’une inéquation quadratique ?
Une inéquation quadratique est une inégalité de la forme ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ≥ ou ≤, où a ≠ 0. Au lieu de chercher des valeurs précises de x comme dans une équation, on cherche toutes les valeurs de x qui satisfont l’inéquation — en général un intervalle ou une réunion d’intervalles.
Comment le signe du coefficient directeur a influence-t-il la solution ?
Quand a > 0, la parabole est ouverte vers le haut, donc l’expression est négative entre les racines et positive à l’extérieur. Quand a < 0, la parabole est ouverte vers le bas, donc l’expression est positive entre les racines et négative à l’extérieur. Inverser le signe de a inverse essentiellement l’ensemble solution.
Que se passe-t-il lorsque le discriminant est négatif ?
Si Δ = b² − 4ac < 0, la parabole ne coupe jamais l’axe des x. Lorsque a > 0, l’expression est toujours positive, donc ax²+bx+c > 0 est vrai pour tout x réel (solution = ℝ) et ax²+bx+c < 0 n’a aucune solution. Lorsque a < 0, c’est l’inverse.
Qu’est-ce qu’une racine double et que signifie-t-elle pour la solution ?
Une racine double apparaît lorsque Δ = 0, ce qui signifie que la parabole touche l’axe des x en un seul point. Pour a > 0, l’expression est ≥ 0 pour tout x (la solution pour ≥ est l’ensemble de tous les réels) et elle n’est jamais strictement négative (aucune solution pour <). Pour l’inéquation ≤ avec une racine double r, la solution est uniquement le point x = r.
Comment lire la notation d’intervalles dans le résultat ?
Les parenthèses ( ) indiquent des bornes strictes (non incluses, utilisées pour > ou <), tandis que les crochets [ ] indiquent des bornes inclusives (utilisées pour ≥ ou ≤). Le symbole ∪ signifie « union » — la solution est l’ensemble de tous les nombres appartenant à l’un ou l’autre intervalle.
La solution peut-elle être l’ensemble des réels ?
Oui. Si a > 0 et Δ < 0, alors ax² + bx + c > 0 pour tout x réel, donc la solution de ax²+bx+c > 0 (ou ≥ 0) est ℝ. De même, si a < 0 et Δ < 0, alors ax²+bx+c < 0 pour tout x réel.