Calculatrice de fractions égyptiennes
Convertissez n’importe quelle fraction en somme de fractions unitaires distinctes grâce à l’ancien algorithme glouton — la même méthode utilisée par les mathématiciens égyptiens il y a plus de 3 500 ans.
Saisissez un numérateur et un dénominateur pour décomposer la fraction en fractions unitaires distinctes (termes 1/n).
Calculatrice de fractions égyptiennes
Convertissez n’importe quelle fraction en somme de fractions unitaires distinctes grâce à l’ancien algorithme glouton — la même méthode utilisée par les mathématiciens égyptiens il y a plus de 3 500 ans.
À propos des fractions égyptiennes
Une fraction égyptienne est la représentation d’un nombre rationnel sous forme de somme de fractions unitaires distinctes, où une fraction unitaire est une fraction de la forme 1/n pour un entier positif n. Par exemple, 2/3 = 1/2 + 1/6, et 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20. Les mathématiciens égyptiens antiques, il y a plus de 3 500 ans, utilisaient exclusivement de telles représentations. Le papyrus mathématique de Rhind (vers 1650 av. J.-C.) et le papyrus mathématique de Moscou contiennent tous deux de vastes tables de décompositions en fractions égyptiennes que les scribes utilisaient pour des calculs pratiques liés aux terres, aux céréales et au travail.
Les Égyptiens écrivaient les fractions à l’aide d’un symbole hiéroglyphique spécial (un ovale ou glyphe en forme de bouche appelé « ro ») placé au-dessus du dénominateur entier, représentant la fraction unitaire 1/n. Ils ne pouvaient qu’additionner ces symboles ; ils n’avaient aucun moyen d’écrire des fractions dont le numérateur n’était pas 1. Cette contrainte a favorisé le développement de tables de décomposition et d’algorithmes sophistiqués. Les mathématiciens modernes ont montré que tout nombre rationnel positif inférieur à 1 peut s’exprimer comme une somme finie de fractions unitaires distinctes, donc la représentation égyptienne est toujours possible.
L’algorithme le plus connu pour calculer les fractions égyptiennes est l’algorithme glouton, aussi appelé algorithme de Fibonacci–Sylvester. Il fonctionne ainsi : pour une fraction p/q, on cherche le plus petit entier n tel que 1/n ≤ p/q (c’est-à-dire n = ⌈q/p⌉), on soustrait 1/n de p/q pour obtenir une nouvelle fraction, on la simplifie, puis on recommence jusqu’à ce que le reste soit lui-même une fraction unitaire. L’algorithme glouton se termine toujours et produit toujours des fractions unitaires distinctes, mais il ne trouve pas toujours la représentation la plus courte ou la plus élégante.
Par exemple, pour décomposer 2/3 avec l’algorithme glouton : ⌈3/2⌉ = 2, donc on soustrait 1/2 : 2/3 − 1/2 = 4/6 − 3/6 = 1/6. Le résultat est 2/3 = 1/2 + 1/6. Pour 4/5 : ⌈5/4⌉ = 2, on soustrait 1/2 : 4/5 − 1/2 = 3/10. Puis ⌈10/3⌉ = 4, on soustrait 1/4 : 3/10 − 1/4 = 6/20 − 5/20 = 1/20. Résultat : 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20.
Les fractions égyptiennes restent un domaine actif de recherche mathématique. La conjecture d’Erdős–Straus (1948) affirme que 4/n peut toujours s’écrire comme la somme de exactement trois fractions unitaires — cela a été vérifié pour tous les n jusqu’à au moins 10^14, mais reste non démontré en général. Les questions portant sur le nombre minimal de termes d’une représentation égyptienne, le plus grand dénominateur dans la représentation optimale et les algorithmes efficaces pour trouver des représentations courtes font toutes l’objet de travaux en cours.
Au-delà des mathématiques pures, les fractions égyptiennes trouvent des applications dans les problèmes de partage équitable. Répartir une ressource (terre, temps ou argent) en parts correspondant à des fractions unitaires du tout est simple et sans ambiguïté. Les fractions égyptiennes apparaissent aussi dans l’analyse de certains jeux combinatoires et dans des problèmes de théorie des nombres liés aux nombres parfaits et aux séries harmoniques.
Exemples de fractions égyptiennes
Quatre fractions représentatives décomposées avec l’algorithme glouton et des traces étape par étape.
| Fraction | Fractions égyptiennes | Notes |
|---|---|---|
| 2/3 | 1/2 + 1/6 | ⌈3/2⌉ = 2 → soustraire 1/2 → reste 1/6. La décomposition classique en 2 termes. Présente dans les tables du papyrus de Rhind. |
| 5/8 | 1/2 + 1/8 | ⌈8/5⌉ = 2 → soustraire 1/2 → reste 5/8 − 4/8 = 1/8. Résultat propre en 2 termes avec l’algorithme glouton. |
| 7/12 | 1/2 + 1/12 | ⌈12/7⌉ = 2 → soustraire 1/2 → 7/12 − 6/12 = 1/12. Une autre représentation élégante en 2 termes. |
| 4/5 | 1/2 + 1/4 + 1/20 | Trois termes sont nécessaires. Étape 1 : 1/2. Étape 2 : 3/10 − 1/4 = 1/20. Résultat : 1/2 + 1/4 + 1/20 = 10/20 + 5/20 + 1/20 = 16/20 = 4/5 ✓. |
Comment utiliser la calculatrice de fractions égyptiennes
- Saisissez le numérateur (nombre du haut) de votre fraction dans le champ Numérateur. Il doit s’agir d’un entier positif.
- Saisissez le dénominateur (nombre du bas) dans le champ Dénominateur. Il doit s’agir d’un entier positif supérieur au numérateur.
- Cliquez sur Convertir en fractions égyptiennes. Le panneau de résultat affiche la décomposition en somme de fractions unitaires, la vérification que la somme correspond à la fraction d’origine, les étapes de l’algorithme glouton et le nombre total de termes.
- Lisez la trace étape par étape pour comprendre comment l’algorithme glouton soustrait chaque fraction unitaire successivement.
- Cliquez sur Réinitialiser la calculatrice pour effacer les entrées et essayer une autre fraction.
FAQ de la calculatrice de fractions égyptiennes
Qu’est-ce qu’une fraction égyptienne ?
Une fraction égyptienne est la représentation d’un nombre rationnel comme somme finie de fractions unitaires distinctes — des fractions de la forme 1/n où n est un entier positif. Par exemple, 3/4 = 1/2 + 1/4. Les anciens Égyptiens utilisaient exclusivement cette notation car leur système de numération ne permettait pas d’écrire des fractions avec un numérateur autre que 1.
Chaque fraction a-t-elle une représentation égyptienne ?
Oui. Tout nombre rationnel positif peut s’exprimer comme une somme finie de fractions unitaires distinctes. Cela a été démontré à l’aide de l’algorithme glouton, qui se termine toujours après un nombre fini d’étapes. La représentation n’est pas unique — la plupart des fractions ont plusieurs décompositions égyptiennes valides avec des nombres de termes différents.
Qu’est-ce que l’algorithme glouton pour les fractions égyptiennes ?
L’algorithme glouton, aussi appelé algorithme de Fibonacci–Sylvester, consiste à soustraire de manière répétée la plus grande fraction unitaire qui ne dépasse pas la valeur restante. Pour une fraction p/q, le premier terme est 1/⌈q/p⌉ (où ⌈⌉ désigne le plafond). Le reste est simplifié et le processus se répète jusqu’à ce que le reste soit déjà une fraction unitaire.
L’algorithme glouton trouve-t-il toujours la représentation la plus courte ?
Non. L’algorithme glouton se termine toujours et produit une représentation valide, mais pas toujours celle avec le moins de termes. Par exemple, l’algorithme glouton donne 5/121 = 1/25 + 1/757 + ..., alors qu’une alternative plus courte existe. Trouver la représentation à nombre minimal de termes est difficile sur le plan computationnel pour de grands numérateurs.
Le numérateur peut-il être plus grand que le dénominateur ?
La représentation égyptienne classique s’applique aux fractions propres (numérateur < dénominateur). Si la fraction est supérieure à 1, vous pouvez d’abord extraire la partie entière et représenter le reste fractionnaire en fraction égyptienne. Cette calculatrice traite les fractions propres avec numérateur inférieur au dénominateur.
Qu’est-ce que la conjecture d’Erdős–Straus ?
La conjecture d’Erdős–Straus (1948) affirme que pour tout entier n ≥ 2, la fraction 4/n peut s’écrire comme la somme de exactement trois fractions unitaires : 4/n = 1/a + 1/b + 1/c. Cela a été vérifié par calcul pour tous les n jusqu’à au moins 10^14, mais une preuve générale reste l’un des problèmes ouverts de la théorie des nombres.