Calculatrice e

Le nombre d’Euler, noté e, est l’une des constantes mathématiques les plus importantes. Sa valeur est environ 2.71828182845904523536..., et comme π il est irrationnel et transcendant : il ne peut pas être écrit comme une fraction ni comme racine d’un polynôme à coefficients entiers. Jacob Bernoulli l’a étudié en 1683 avec les intérêts composés, puis Leonhard Euler lui a donné le symbole e et a établi ses propriétés fondamentales. e se définit naturellement comme la base de la fonction exponentielle naturelle : l’unique réel pour lequel f(x) = e^x est égal à sa propre dérivée. C’est pourquoi e^x est central en analyse. On le définit aussi par e = lim(n→∞)(1 + 1/n)^n, limite issue des intérêts composés en continu : à 100% annuel composé infiniment souvent, 1 dollar devient e dollars en un an. Une autre définition équivalente est la série e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ..., où n! est la factorielle. Elle converge très vite : les 13 premiers termes donnent 10 décimales de e. La calculatrice peut afficher les sommes partielles de la série de Taylor e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ..., convergente pour tout réel x. Le logarithme naturel ln(x) est la réciproque de e^x. Si e^y = x, alors ln(x) = y. Il vérifie ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln(x/y) = ln(x) − ln(y) et ln(x^n) = n ln(x), transformant multiplication, division et puissances en opérations plus simples. Les logarithmes étaient donc indispensables au calcul scientifique avant les ordinateurs. e et ln(x) sont omniprésents en science, ingénierie, économie et statistique. La décroissance radioactive suit N(t) = N₀ e^(−λt), la croissance idéale P(t) = P₀ e^(rt), et les intérêts composés en continu A = Pe^(rt). Le logarithme naturel apparaît dans l’entropie de Shannon et la loi normale contient e^(−x²/2).