Calculatrice du discriminant - racines quadratiques
Calculez le discriminant Δ = b² − 4ac de toute équation quadratique et déterminez instantanément si ses racines sont réelles, doubles ou complexes.
Calculatrice du discriminant - racines quadratiques
Calculez le discriminant Δ = b² − 4ac de toute équation quadratique et déterminez instantanément si ses racines sont réelles, doubles ou complexes.
Saisissez les coefficients a, b et c de ax² + bx + c = 0. Le coefficient a ne peut pas être nul.
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À propos de la calculatrice du discriminant
Le discriminant est un seul nombre qui résume tout ce qu’il faut savoir sur les racines d’une équation quadratique avant de la résoudre. Issu de la formule quadratique, le discriminant Δ = b² − 4ac se trouve sous la racine dans x = (−b ± √Δ) / (2a). Son signe seul détermine si l’équation possède deux racines réelles distinctes (Δ > 0), une racine réelle double (Δ = 0) ou deux racines complexes conjuguées (Δ < 0).
Lorsque Δ est positif, sa racine carrée est un nombre réel positif, et le ± de la formule quadratique produit deux valeurs réelles différentes. La plus grande racine est (−b + √Δ)/(2a) et la plus petite est (−b − √Δ)/(2a). Plus le discriminant est grand, plus les deux racines sont généralement éloignées ; elles sont les plus proches lorsque Δ est petit et positif. Sur le graphique de y = ax² + bx + c, un discriminant positif signifie que la parabole coupe l’axe x en deux points distincts.
Lorsque Δ vaut zéro, √Δ = 0, et les branches + et − donnent la même réponse : x = −b/(2a). C’est le sommet de la parabole, et la courbe est tangente à l’axe x en ce seul point. Les trinômes carrés parfaits comme (x − 3)² = x² − 6x + 9 ont toujours un discriminant nul : Δ = 36 − 36 = 0.
Lorsque Δ est négatif, il n’existe pas de racine carrée réelle de Δ, et les solutions font intervenir l’unité imaginaire i = √(−1). Les deux racines sont des complexes conjugués de la forme (−b)/(2a) ± i√(|Δ|)/(2a). Bien que ces racines ne correspondent pas à des intersections avec l’axe x sur la droite réelle, ce sont de vraies solutions dans le système des nombres complexes et elles apparaissent fréquemment en traitement du signal, en théorie du contrôle et en physique.
Le discriminant a aussi des liens importants avec d’autres domaines des mathématiques. Dans la formule quadratique, il détermine directement les deux solutions. En géométrie analytique, il contrôle la position de la parabole par rapport à l’axe x. Dans la théorie des équations, il se généralise aux polynômes de degré supérieur comme mesure du nombre de racines qui coïncident. Les formules de Viète relient le discriminant à la somme et au produit des racines : pour ax² + bx + c = 0, la somme des racines vaut −b/a et le produit vaut c/a, et sous forme normalisée, Δ = (somme des racines)² − 4(produit des racines) × a²/a².
Saisissez n’importe quels a, b, c valides dans la calculatrice du discriminant pour voir instantanément Δ, la nature des racines et leurs valeurs réelles. La calculatrice gère les trois cas — discriminant positif, nul et négatif — et affiche les racines complexes sous la forme standard a + bi.
Exemples de discriminant
Trois cas standards couvrant tous les résultats possibles du discriminant.
| Équation | Discriminant | Nature des racines |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6) | Δ = 1 | Δ = (−5)²−4(1)(6) = 25−24 = 1 > 0. Deux racines réelles distinctes : x = 3 et x = 2. |
| x² − 4x + 4 = 0 (a=1, b=−4, c=4) | Δ = 0 | Δ = (−4)²−4(1)(4) = 16−16 = 0. Une racine double : x = 2. La parabole est tangente à l’axe x en un seul point. |
| x² + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Δ = −16 | Δ = 4−4(1)(5) = 4−20 = −16 < 0. Deux racines complexes conjuguées : x = −1 ± 2i. La parabole ne coupe pas l’axe x. |
| 2x² − 8x + 6 = 0 (a=2, b=−8, c=6) | Δ = 16 | Δ = 64−4(2)(6) = 64−48 = 16 > 0. Deux racines réelles distinctes : x = 3 et x = 1. |
Comment utiliser la calculatrice du discriminant
- Repérez les coefficients a, b et c de votre équation quadratique écrite sous la forme standard ax² + bx + c = 0.
- Saisissez a dans le premier champ, b dans le deuxième et c dans le troisième. N’oubliez pas que a doit être non nul.
- Cliquez sur Calculer le discriminant pour voir Δ = b² − 4ac, la nature des racines et les racines elles-mêmes.
- Utilisez les boutons de chargement rapide pour essayer les trois exemples classiques couvrant les discriminants positifs, nuls et négatifs.
- Cliquez sur Réinitialiser pour restaurer les valeurs par défaut et lancer un nouveau calcul.
FAQ de la calculatrice du discriminant
Qu’est-ce que le discriminant d’une équation quadratique ?
Le discriminant de ax² + bx + c = 0 est l’expression Δ = b² − 4ac. Il apparaît sous la racine dans la formule quadratique et détermine le nombre et le type de racines sans avoir à résoudre complètement l’équation. Un discriminant positif signifie deux racines réelles distinctes, zéro signifie une racine double, et négatif signifie deux racines complexes conjuguées.
Comment utiliser le discriminant pour trouver les racines ?
Une fois Δ connu, remplacez-le dans la formule quadratique : x = (−b ± √Δ) / (2a). Si Δ > 0, utilisez +√Δ et −√Δ pour obtenir deux racines réelles. Si Δ = 0, la seule racine est −b/(2a). Si Δ < 0, les racines sont complexes : x = −b/(2a) ± i√(|Δ|)/(2a).
Que signifie un discriminant égal à zéro ?
Un discriminant nul signifie que l’équation quadratique a une racine double. Géométriquement, la parabole y = ax² + bx + c est tangente à l’axe x : elle le touche seulement au sommet, sans le couper. C’est le cas, par exemple, du trinôme carré parfait x² − 4x + 4 = (x−2)².
Le discriminant peut-il être négatif ?
Oui. Un discriminant négatif signifie qu’il n’existe pas de racine carrée réelle de Δ, donc l’équation quadratique n’a pas de racines réelles. Elle possède alors deux racines complexes conjuguées de la forme p + qi et p − qi. Cela se produit lorsque la parabole est entièrement au-dessus ou au-dessous de l’axe x et ne le coupe jamais.
Pourquoi le coefficient a doit-il être non nul ?
Si a = 0, l’équation ax² + bx + c = 0 se réduit à bx + c = 0, qui est linéaire et non quadratique. La formule quadratique et le discriminant ne sont pas définis pour a = 0, car le dénominateur 2a serait nul. La calculatrice exige a ≠ 0 pour garantir qu’une véritable équation quadratique est étudiée.
Quel est le lien entre le discriminant et le graphe de la quadratique ?
Les abscisses à l’origine de la parabole y = ax² + bx + c correspondent exactement aux racines réelles de l’équation. Si Δ > 0, la parabole coupe l’axe x en deux points distincts. Si Δ = 0, elle est tangente à l’axe x en un point (le sommet). Si Δ < 0, la parabole ne touche pas l’axe x, ce qui confirme que toutes les racines sont complexes.