Calculateur de valeurs singulières - SVD

La décomposition en valeurs singulières (SVD) est l’une des factorisations les plus importantes de l’algèbre linéaire. Pour toute matrice réelle m×n A, la SVD écrit A sous la forme A = UΣV^T, où U est une matrice orthogonale m×m, Σ est une matrice diagonale m×n avec des éléments diagonaux non négatifs, et V est une matrice orthogonale n×n. Les éléments diagonaux σ₁ ≥ σ₂ ≥ … ≥ 0 de Σ sont les valeurs singulières de A. Les valeurs singulières sont toujours des nombres réels non négatifs, même lorsque la matrice d’origine contient des valeurs négatives ou une structure complexe. Elles sont déterminées de façon unique par la matrice — contrairement aux vecteurs U et V, qui peuvent ne pas être uniques lorsque des valeurs singulières se répètent. Le nombre de valeurs singulières non nulles est égal au rang de la matrice, qui mesure la dimension de l’espace colonne (l’ensemble de toutes les sorties possibles de la transformation linéaire représentée par A). Le lien entre SVD et valeurs propres est précis : les valeurs singulières de A sont les racines carrées des valeurs propres de la matrice symétrique semi-définie positive A^T·A (ou, de manière équivalente, A·A^T pour les vecteurs singuliers gauches). Ce calculateur calcule A^T·A et applique l’algorithme des valeurs propres de Jacobi — une méthode itérative qui annule les éléments hors diagonale d’une matrice symétrique au moyen d’une suite de rotations orthogonales appelées rotations de Givens — pour trouver ses valeurs propres, puis en prend les racines carrées. La plus grande valeur singulière σ₁ est égale à la norme spectrale (aussi appelée norme 2 ou norme opérateur) de la matrice — le facteur maximal par lequel la matrice peut étirer un vecteur unitaire. La norme de Frobenius est la racine carrée de la somme des carrés de toutes les valeurs singulières, et elle est également égale à la racine carrée de la somme des carrés de tous les éléments de la matrice. Ces normes ont une portée pratique : la norme de Frobenius est la mesure la plus naturelle de l’énergie totale d’une matrice, tandis que la norme spectrale contrôle la sensibilité aux perturbations. Le nombre de condition κ = σ₁/σₙ (rapport entre la plus grande et la plus petite valeur singulière) quantifie à quel point la matrice est bien conditionnée pour résoudre des systèmes linéaires. Un nombre de condition proche de 1 signifie que le système est bien conditionné et facile à résoudre avec précision. Un nombre de condition très élevé — par exemple au-dessus de 10⁶ ou 10¹² — signale un système mal conditionné, où de petites perturbations de l’entrée peuvent provoquer de grands changements dans la solution, une source fréquente d’instabilité numérique en calcul scientifique et en apprentissage automatique. La SVD a un vaste champ d’applications. En science des données, l’analyse en composantes principales (PCA) — l’outil phare de la réduction de dimension — est mathématiquement équivalente au calcul de la SVD de la matrice de données centrée. Les composantes principales sont les vecteurs singuliers droits V, et la variance expliquée par chaque composante est proportionnelle au carré de la valeur singulière correspondante. En traitement et compression d’images, ne conserver que les k plus grandes valeurs singulières et leurs vecteurs associés produit une approximation de rang k de la matrice d’image qui minimise l’erreur en norme de Frobenius parmi toutes les matrices de rang k — c’est le théorème d’Eckart-Young. Dans les systèmes de recommandation (filtrage collaboratif), la factorisation matricielle via SVD sert à prédire les notes des utilisateurs pour des éléments non vus. En ingénierie, la pseudo-inverse A† = VΣ†U^T fournit la solution des moindres carrés de norme minimale pour les systèmes surdéterminés ou sous-déterminés, ce qui est essentiel en robotique, en théorie du contrôle et en traitement du signal. Pour ce calculateur, les matrices jusqu’à environ 10×10 sont traitées de manière fiable par l’algorithme de Jacobi. Les matrices très grandes ou celles comportant de nombreuses valeurs singulières presque identiques peuvent perdre un peu de précision à cause de l’accumulation des arrondis en virgule flottante, mais les résultats sont exacts à au moins six chiffres significatifs pour des entrées typiques.