Calculateur de pseudo-inverse

Calculez la pseudo-inverse de Moore-Penrose d'une matrice rectangulaire ou carrée de rang plein.

Pseudo-inverse d'une matrice

Séparez les lignes par des points-virgules et les valeurs par des virgules ou des espaces.

Matrice à saisir

Exemple : 1, 2; 3, 4 représente une matrice deux par deux.

À propos du calculateur de pseudo-inverse

La pseudo-inverse de Moore-Penrose étend la notion d'inverse aux matrices rectangulaires et aux systèmes dépourvus d'inverse ordinaire unique. Notée A+, elle est l'unique matrice satisfaisant quatre conditions de cohérence portant sur A, A+ et leurs transposées. Pour une matrice carrée inversible, elle est exactement égale à l'inverse ordinaire. Pour une matrice haute ou large de rang plein, elle fournit la transformation analogue à une inverse requise dans les calculs de moindres carrés et de norme minimale. Ce calculateur accepte une matrice écrite ligne par ligne. Séparez les coefficients par des virgules ou des espaces et les lignes par des points-virgules. Si la matrice a au moins autant de lignes que de colonnes et des colonnes indépendantes, il calcule l'inverse de (A transposée A) multipliée par A transposée. S'il y a plus de colonnes que de lignes et des lignes indépendantes, il calcule A transposée multipliée par l'inverse de (A A transposée). Ces deux formules sont les formes usuelles de rang plein de l'inverse de Moore-Penrose. L'inverse carrée nécessaire est obtenue par élimination de Gauss-Jordan avec pivotage. Une application courante est un système linéaire surdéterminé A x = b, avec plus d'équations que d'inconnues et aucun vecteur satisfaisant exactement toutes les équations. Multiplier b par A+ donne la solution des moindres carrés qui minimise le résidu au carré. Dans un système sous-déterminé de rang plein en lignes, A+ fournit la solution exacte de plus petite norme euclidienne. Ces propriétés sont utiles en régression, traitement du signal, commande, robotique, optimisation numérique, ajustement de données et apprentissage automatique. Le rang est essentiel. Les formules pratiques des équations normales exigent des colonnes ou des lignes indépendantes. Un rang déficient rend A transposée A ou A A transposée singulière ; cette implémentation signale donc cette limite au lieu de renvoyer une valeur instable. Une décomposition générale en valeurs singulières peut traiter ce cas en n'inversant que les valeurs singulières au-dessus d'une tolérance numérique. Pour les problèmes grands, mal conditionnés ou de rang déficient, utilisez une bibliothèque numérique spécialisée avec une routine SVD et examinez sa tolérance. L'arithmétique en virgule flottante influe aussi sur les résultats. Les coefficients affichés sont arrondis à six décimales, tandis que les calculs conservent la double précision de JavaScript. De forts écarts d'échelle peuvent amplifier les erreurs d'arrondi, car les équations normales mettent le nombre de condition au carré. Une remise à l'échelle des colonnes peut aider, mais les calculs professionnels devraient privilégier QR ou SVD. Pour des exemples pédagogiques et de petites matrices de rang plein, ce calculateur permet de calculer et d'examiner la pseudo-inverse sans effectuer manuellement plusieurs produits matriciels et étapes d'élimination.

Exemples de pseudo-inverse

Matrice A	Pseudo-inverse A+	Signification
[1, 0]; [0, 1]	[1, 0]; [0, 1]	La matrice identité est sa propre inverse et pseudo-inverse.
[1]; [2]	[0.2, 0.4]	Le vecteur colonne est divisé par le carré de sa longueur, soit 5.
[1, 0, 0]; [0, 1, 0]	[1, 0]; [0, 1]; [0, 0]	Une matrice large produit l'inverse à droite de norme minimale.

Comment calculer une pseudo-inverse

Écrivez chaque ligne avec des coefficients séparés par des virgules ou des espaces.
Séparez les lignes par des points-virgules et vérifiez qu'elles ont la même longueur.
Sélectionnez Calculer la pseudo-inverse pour appliquer la formule de rang plein adaptée.
Lisez les lignes obtenues et conservez davantage de précision pour des calculs ultérieurs.

Questions fréquentes sur la pseudo-inverse

Quelle différence entre pseudo-inverse et inverse ?

Une inverse ordinaire n'existe que pour une matrice carrée non singulière. La pseudo-inverse de Moore-Penrose est aussi définie pour les matrices rectangulaires et coïncide avec l'inverse lorsqu'elle existe.

Que permet de résoudre la pseudo-inverse ?

Elle donne une solution des moindres carrés aux systèmes surdéterminés incompatibles. Pour les systèmes sous-déterminés, elle choisit la solution de norme euclidienne minimale.

Ce calculateur accepte-t-il les matrices singulières ?

Il accepte les matrices carrées et rectangulaires de rang plein en lignes ou en colonnes. Les matrices de rang déficient nécessitent une méthode SVD et sont signalées plutôt qu'approximées sans fiabilité.

Comment formater la matrice ?

Séparez les valeurs d'une ligne par des virgules ou des espaces et les lignes par des points-virgules. Chaque ligne doit contenir le même nombre de coefficients numériques.

Pourquoi les résultats sont-ils arrondis ?

L'affichage est arrondi à six décimales pour rester lisible. Les calculs internes utilisent des flottants double précision, mais les matrices mal conditionnées peuvent encore perdre en exactitude.