Calculateur du nombre de condition des matrices

Le nombre de condition d'une matrice inversible A est défini par κ(A) = ‖A‖ · ‖A⁻¹‖, où ‖·‖ désigne toute norme matricielle compatible. Il mesure dans quelle proportion l'erreur relative sur le second membre b d'un système linéaire A·x = b peut être amplifiée dans la solution x. Intuitivement, une matrice de petit nombre de condition est bien conditionnée : de petites erreurs d'entrée produisent de petites erreurs de sortie. Une matrice de grand nombre de condition est mal conditionnée : même un arrondi microscopique en virgule flottante peut conduire à des solutions très inexactes. Ce calculateur prend en charge les matrices 2 × 2 et 3 × 3 ainsi que trois des normes matricielles les plus utilisées. La norme 1 est la somme absolue maximale par colonne, ‖A‖₁ = max_j Σᵢ |aᵢⱼ|. La norme infinie est la somme absolue maximale par ligne, ‖A‖∞ = max_i Σⱼ |aᵢⱼ|. La norme de Frobenius est la racine carrée de la somme des carrés de tous les coefficients, ‖A‖_F = √(Σᵢⱼ |aᵢⱼ|²), et constitue l'analogue matriciel de la norme euclidienne vectorielle. Pour les matrices 2 × 2, l'inverse est calculé analytiquement par A⁻¹ = (1/det A) · [[d, −b], [−c, a]]. Pour les matrices 3 × 3, on utilise la formule des cofacteurs (matrice adjointe). Les nombres de condition sont centraux en algèbre linéaire numérique. Lorsque vous résolvez un système linéaire sur un ordinateur avec une décomposition LU ou une élimination de Gauss, l'erreur relative de la solution calculée est bornée approximativement par κ(A) · ε, où ε est la précision machine (environ 10⁻¹⁶ en double précision IEEE-754). Ainsi, un nombre de condition de 10⁶ signifie que vous pouvez perdre jusqu'à six chiffres de précision à cause du seul arrondi. En règle générale, les matrices avec κ < 100 sont considérées comme bien conditionnées, celles avec κ entre 100 et 1000 sont moyennement conditionnées, et tout ce qui dépasse 10³ est mal conditionné et doit être abordé avec prudence. Quelques réserves importantes. Le nombre de condition dépend du choix de la norme, donc les valeurs calculées avec des normes différentes ne sont pas directement comparables, même si elles restent en général du même ordre de grandeur. Le nombre de condition en norme 2 (norme spectrale), défini à l'aide des valeurs singulières, est le plus naturel théoriquement mais il est plus coûteux à calculer et n'est pas proposé ici. Une matrice singulière a un déterminant exactement nul, n'a pas d'inverse et possède un nombre de condition infini ; le calculateur détecte explicitement ce cas. Utilisez cet outil chaque fois que vous voulez vérifier si une petite matrice est sûre à inverser numériquement, pour enseigner l'analyse numérique de base, ou comme contrôle rapide avant de résoudre un système dans une simulation plus grande ou un pipeline de machine learning.