Calculateur de loi des sinus - Résoudre des triangles (AAS, ASA, SSA)
Utilisez la loi des sinus pour trouver les côtés et angles inconnus de n'importe quel triangle. Compatible avec AAS, ASA et SSA, y compris le cas ambigu.
Choisissez la configuration correspondant à vos valeurs connues, saisissez-les ci-dessous, et obtenez instantanément tous les côtés, angles et propriétés du triangle.
Calculateur de loi des sinus - Résoudre des triangles (AAS, ASA, SSA)
Utilisez la loi des sinus pour trouver les côtés et angles inconnus de n'importe quel triangle. Compatible avec AAS, ASA et SSA, y compris le cas ambigu.
Exemples de loi des sinus
Quatre exemples couvrant AAS, ASA et les deux cas SSA.
| Configuration et valeurs données | Valeurs manquantes | Notes |
|---|---|---|
| AAS : A=45°, B=60°, a=10 | C=75°, b≈12.25, c≈13.66 | C = 180−105 = 75°. b = 10⋅sin(60°)/sin(45°) ≈ 12.25. c = 10⋅sin(75°)/sin(45°) ≈ 13.66. |
| ASA : A=30°, c=12, B=50° | C=100°, a≈6.09, b≈9.33 | C = 180−80 = 100°. a = 12⋅sin(30°)/sin(100°) ≈ 6.09. b = 12⋅sin(50°)/sin(100°) ≈ 9.33. |
| SSA : a=15, b=10, A=60° | Une solution : B≈35.26° | sin(B) = 10⋅sin(60°)/15 ≈ 0.5774. Seule la solution avec B < 180−A est valide. |
| SSA : a=8, b=10, A=40° | Deux solutions : B≈52.47° ou B≈127.53° | Cas ambigu : sin(B) = 10⋅sin(40°)/8 ≈ 0.8035. Les deux valeurs d’arcsin donnent des triangles valides. |
À propos du calculateur de loi des sinus
La loi des sinus est l’un des deux théorèmes fondamentaux pour résoudre les triangles (l’autre étant la loi des cosinus). Pour tout triangle de côtés a, b, c et d’angles opposés A, B, C, la loi énonce : a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Ce rapport commun est égal au diamètre du cercle circonscrit du triangle, une belle propriété géométrique.
La loi des sinus s’applique lorsque vous connaissez au moins un côté et l’angle opposé, ainsi que des informations supplémentaires permettant de déterminer le triangle de manière unique (ou ambiguë). Ce calculateur prend en charge trois configurations.
AAS (Angle-Angle-Côté) : vous connaissez deux angles et un côté non compris entre eux. Comme la somme des angles d’un triangle est 180°, le troisième angle se calcule immédiatement par C = 180° − A − B. Les autres côtés sont ensuite trouvés avec b = a⋅sin(B)/sin(A) et c = a⋅sin(C)/sin(A). La solution est toujours unique.
ASA (Angle-Côté-Angle) : vous connaissez deux angles et le côté compris entre eux. L’approche est similaire à AAS : calculez le troisième angle, puis appliquez la loi des sinus pour trouver les deux autres côtés. La solution est également unique.
SSA (Côté-Côté-Angle) : vous connaissez deux côtés et un angle non compris entre eux. C’est le « cas ambigu ». Selon les valeurs, il peut y avoir zéro, une ou deux solutions valides. Le calculateur détecte tous les cas : si l’angle donné est obtus et que le côté opposé est plus long que le côté adjacent, il n’existe qu’une seule solution ; si l’angle est aigu, il peut y avoir deux solutions si le côté opposé est plus court que le côté adjacent mais assez long pour atteindre la base. Le calculateur affiche les deux solutions lorsqu’elles existent.
La loi des sinus est largement utilisée en navigation, en topographie et en ingénierie. La triangulation, technique qui consiste à déterminer la position d’un point à partir d’angles mesurés depuis des points de référence connus, repose sur l’application répétée de la loi des sinus. En navigation, les calculs de relèvement et de distance entre des points de passage utilisent les lois trigonométriques. En analyse structurelle, les forces dans les éléments d’une ferme sont résolues par la loi des sinus lorsque la géométrie est définie par des angles et un côté connu.
Ce calculateur automatise les trois configurations, gère de manière transparente le cas ambigu SSA et affiche toutes les propriétés du triangle : les trois côtés, les trois angles et le type de triangle.
Comment utiliser le calculateur de loi des sinus
- Sélectionnez la configuration correspondant à vos valeurs connues : AAS (deux angles et un côté non compris), ASA (deux angles et le côté compris) ou SSA (deux côtés et un angle non compris).
- Saisissez les valeurs connues dans les champs correspondants. Les angles sont en degrés.
- Cliquez sur Calculer. Le calculateur applique la loi des sinus pour trouver tous les côtés et angles inconnus.
- Pour SSA, vérifiez si une ou deux solutions sont affichées. Le cas ambigu est géré automatiquement.
- Cliquez sur Réinitialiser pour effacer tous les champs et résoudre un nouveau triangle.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la loi des sinus ?
La loi des sinus indique que, dans tout triangle, le rapport entre la longueur d’un côté et le sinus de son angle opposé est constant : a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Ce rapport commun est égal au diamètre du cercle circonscrit. Elle sert à résoudre des triangles lorsqu’on connaît au moins une paire côté-angle (un côté et son angle opposé).
Qu’est-ce que le cas ambigu SSA ?
Le cas SSA (deux côtés et un angle non compris) est dit ambigu car il peut produire zéro, une ou deux triangles valides. Lorsque l’angle est aigu et que le côté opposé est compris entre la hauteur du triangle et le côté adjacent, il peut exister deux triangles possibles avec des configurations différentes. Le calculateur identifie automatiquement les deux solutions.
Quand utiliser la loi des sinus plutôt que la loi des cosinus ?
Utilisez la loi des sinus pour les configurations AAS, ASA et SSA. Utilisez la loi des cosinus pour SAS (deux côtés et l’angle compris) et SSS (trois côtés connus). La loi des cosinus évite l’ambiguïté du cas SSA en résolvant une équation quadratique, tandis que la loi des sinus utilise un rapport plus simple mais doit gérer deux valeurs possibles d’arcsin.
Comment saisir les angles dans ce calculateur ?
Tous les angles doivent être saisis en degrés. Le calculateur les convertit en radians en interne pour les fonctions trigonométriques. Pour AAS et ASA, assurez-vous que les deux angles saisis ont une somme inférieure à 180° afin que le troisième angle soit positif. Pour SSA, l’angle saisi doit aussi être compris entre 0 et 180 degrés.
Que signifie « type de triangle » ?
Le calculateur classe les triangles par leurs angles et leurs côtés. Par les angles : acutangle (tous les angles < 90°), rectangle (un angle = 90°) ou obtusangle (un angle > 90°). Par les côtés : équilatéral (trois côtés égaux), isocèle (deux côtés égaux) ou scalène (aucun côté égal). Ces libellés apparaissent dans la section des résultats lorsqu’une solution valide est trouvée.
Peut-on utiliser la loi des sinus pour les triangles rectangles ?
Oui. Pour un triangle rectangle avec l’angle droit en C, sin(C) = sin(90°) = 1, donc la loi des sinus se simplifie en a/sin(A) = b/sin(B) = c. Cela reste cohérent avec les formules trigonométriques de base du triangle rectangle, sin(A) = a/c et sin(B) = b/c. La loi des sinus fonctionne pour tous les triangles, y compris les triangles rectangles.