Calculateur de la loi des cosinus - Résoudre n’importe quel triangle (SAS/SSS)
Résolvez n’importe quel triangle avec la loi des cosinus. Trouvez un côté manquant en SAS ou un angle manquant en SSS.
Choisissez si vous voulez trouver un côté manquant (SAS) ou un angle manquant (SSS), saisissez les valeurs connues et obtenez le résultat instantanément.
Calculateur de la loi des cosinus - Résoudre n’importe quel triangle (SAS/SSS)
Résolvez n’importe quel triangle avec la loi des cosinus. Trouvez un côté manquant en SAS ou un angle manquant en SSS.
Exemples de la loi des cosinus
Quatre scénarios typiques couvrant les configurations SAS et SSS, y compris un triangle obtus.
| Valeurs connues | Résultat | Configuration |
|---|---|---|
| a=5, b=7, C=45° (SAS) | c ≈ 4.950 | c² = 25 + 49 − 2(5)(7)cos(45°) = 74 − 49.497 ≈ 24.503, c ≈ 4.950. |
| a=8, b=6, c=10 (SSS) | C = 90° | cos(C) = (64+36−100)/(2×48) = 0/96 = 0, donc C = arccos(0) = 90° (triangle rectangle). |
| a=10, b=12, C=120° (SAS, obtuse) | c ≈ 19.08 | c² = 100+144−2(10)(12)cos(120°) = 244+120 = 364, c = √364 ≈ 19.08. |
| a=9, b=9, c=6 (SSS, isosceles) | C ≈ 38.94° | cos(C) = (81+81−36)/(2×81) = 126/162 ≈ 0.7778, C = arccos(0.7778) ≈ 38.94°. |
À propos du calculateur de la loi des cosinus
La loi des cosinus est un théorème fondamental de trigonométrie qui généralise le théorème de Pythagore à n’importe quel triangle, et pas seulement aux triangles rectangles. Pour un triangle dont les côtés a, b et c sont opposés aux angles A, B et C respectivement, la loi s’écrit : c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C). Lorsque C = 90°, cos(C) = 0 et la formule se réduit au théorème de Pythagore bien connu : c² = a² + b².
La loi des cosinus s’utilise principalement dans deux configurations. En configuration côté-angle-côté (SAS), on connaît deux côtés et l’angle compris entre eux, et l’on veut trouver le troisième côté. En configuration côté-côté-côté (SSS), on connaît les trois côtés et l’on veut trouver un angle. En réarrangeant la formule, le cas SSS devient : cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab), puis C = arccos de cette valeur.
La loi des cosinus est étroitement liée à la loi des sinus, mais elle s’applique dans les situations où la loi des sinus ne peut pas être utilisée directement. Plus précisément, la loi des sinus requiert soit deux angles et un côté (AAS/ASA), soit deux côtés et un angle non compris (SSA, avec le cas ambigu). La loi des cosinus traite proprement les cas SAS et SSS, avec une solution unique dans chaque cas (à condition que les données définissent un triangle réel).
Les applications pratiques sont nombreuses en topographie, navigation, architecture, ingénierie et physique. Les géomètres utilisent la loi des cosinus pour calculer des distances entre points lorsque la mesure directe est impossible. Les logiciels de navigation calculent le relèvement et la distance entre deux coordonnées GPS à l’aide de versions sphériques de la même formule. Les ingénieurs structure calculent les efforts dans les éléments de fermes dépendant de la géométrie triangulaire. Les pipelines de graphisme informatique utilisent aussi la règle du cosinus pour déterminer les angles entre les arêtes d’un maillage.
Dans un triangle obtus, un angle dépasse 90° et son cosinus est négatif, ce qui fait que c² > a² + b². La loi des cosinus gère cela sans difficulté car la formule accepte des valeurs de cosinus positives et négatives. C’est un avantage par rapport à des méthodes plus simples qui supposent des angles droits.
Ce calculateur prend en charge les cas SAS et SSS. En SAS, saisissez les côtés a et b ainsi que l’angle compris C ; l’outil calcule le côté c. En SSS, saisissez les trois côtés a, b et c ; l’outil calcule l’angle C. Les résultats sont affichés avec la formule utilisée pour que vous puissiez vérifier le calcul à la main.
Comment utiliser le calculateur de la loi des cosinus
- Choisissez le mode de calcul : “Trouver un côté (SAS)” si vous connaissez deux côtés et l’angle entre eux, ou “Trouver un angle (SSS)” si vous connaissez les trois côtés.
- Pour SAS, saisissez les longueurs des côtés a et b ainsi que l’angle compris C (en degrés).
- Pour SSS, saisissez les longueurs des trois côtés a, b et c.
- Cliquez sur Calculer. L’outil applique la loi des cosinus et affiche le côté ou l’angle manquant.
- Cliquez sur Réinitialiser pour effacer tous les champs et résoudre un autre triangle.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la loi des cosinus ?
La loi des cosinus affirme que, pour tout triangle ayant pour côtés a, b, c et pour angles opposés A, B, C : c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C). Elle étend le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles, où le terme en cosinus corrige l’écart par rapport à un angle droit. Lorsque C = 90°, cos(C) = 0 et on retrouve le théorème de Pythagore.
Quand dois-je utiliser la loi des cosinus plutôt que la loi des sinus ?
Utilisez la loi des cosinus lorsque vous avez une configuration SAS (deux côtés et l’angle compris) ou SSS (trois côtés). La loi des sinus est préférable pour les cas AAS et ASA. Pour SSA, la loi des sinus fonctionne mais introduit le cas ambigu ; la loi des cosinus évite cette ambiguïté en résolvant une équation quadratique, même si une solution peut être extraneous.
La loi des cosinus peut-elle gérer les triangles obtus ?
Oui. Dans un triangle obtus, l’angle supérieur à 90° a un cosinus négatif. La formule c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C) reste valable ; le cosinus négatif rend c² plus grand que a² + b², ce qui reflète correctement que c est le côté le plus long opposé à l’angle obtus.
Comment trouver tous les angles d’un triangle à partir de trois côtés ?
Appliquez la loi des cosinus trois fois avec des correspondances de lettres différentes. Commencez par C = arccos((a²+b²−c²)/(2ab)), puis B = arccos((a²+c²−b²)/(2ac)), et enfin A = 180° − B − C. Sinon, une fois deux angles connus, le troisième se déduit de la somme des angles.
Que se passe-t-il si les données ne forment pas un triangle valide ?
Pour le cas SSS, l’inégalité triangulaire doit être vérifiée : chaque côté doit être inférieur à la somme des deux autres. Si cette condition est violée, il n’existe pas de triangle valide et la formule donne |cos(C)| > 1, ce qui n’a pas d’arccos réel. Ce calculateur détecte ce cas et affiche un message d’erreur.
La loi des cosinus est-elle la même chose que la règle des cosinus ?
Oui. La loi des cosinus et la règle des cosinus sont deux noms pour le même théorème. “Règle des cosinus” est plus courant dans les contextes éducatifs britanniques, tandis que “law of cosines” est plus fréquent dans les manuels américains. La formule et ses applications sont identiques.