Calculateur d’angle double
Calculez sin(2x), cos(2x) et tan(2x) à l’aide des identités d’angle double — saisissez un angle en degrés ou en radians pour un résultat instantané.
Saisissez un angle, choisissez l’unité et sélectionnez les formules d’angle double à afficher.
Calculateur d’angle double
Calculez sin(2x), cos(2x) et tan(2x) à l’aide des identités d’angle double — saisissez un angle en degrés ou en radians pour un résultat instantané.
À propos du calculateur d’angle double
Les formules d’angle double sont des identités trigonométriques qui expriment sin(2x), cos(2x) et tan(2x) en fonction de sin(x) et cos(x). Elles sont parmi les identités les plus utilisées en trigonométrie, en calcul, en physique et en ingénierie, car elles permettent de réduire l’argument d’une fonction trigonométrique d’un facteur deux.
Les trois identités fondamentales sont : sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) ; cos(2x) = cos²(x) − sin²(x), que l’on peut aussi écrire 2cos²(x) − 1 ou 1 − 2sin²(x) ; et tan(2x) = 2tan(x) / (1 − tan²(x)). Tan(2x) est indéfinie lorsque cos(2x) = 0, c’est-à-dire lorsque 2x = 90°, 270°, etc.
La formule d’angle double pour le sinus sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) découle directement de la formule d’addition sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) en posant a = b = x. En appliquant la même démarche à cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b), on obtient cos(2x) = cos²(x) − sin²(x). En utilisant l’identité de Pythagore sin²(x) + cos²(x) = 1, on peut remplacer sin²(x) par 1 − cos²(x) pour obtenir cos(2x) = 2cos²(x) − 1, ou remplacer cos²(x) par 1 − sin²(x) pour obtenir cos(2x) = 1 − 2sin²(x). Ces trois formes de la formule d’angle double pour le cosinus sont équivalentes et utiles dans des contextes différents.
En calcul, les formules d’angle double sont essentielles pour intégrer des produits de sinus et de cosinus. Par exemple, l’intégrale de sin(x)cos(x) se simplifie en remarquant que l’intégrande vaut (1/2)sin(2x), ce qui rend l’antidérivation directe. De même, les intégrales de sin²(x) et cos²(x) se traitent en les réécrivant avec les formes de demi-angle dérivées de la formule du cosinus d’angle double.
En physique, les identités d’angle double apparaissent en mécanique ondulatoire, en optique et en mécanique. La formule de portée d’un projectile, R = (v²/g)sin(2θ), utilise le sinus d’angle double pour exprimer la portée maximale en fonction de l’angle de tir. Les figures d’interférence optique, les oscillateurs harmoniques et les machines tournantes impliquent aussi des combinaisons de fonctions trigonométriques où les identités d’angle double simplifient l’analyse.
Ce calculateur d’angle double accepte n’importe quel angle en degrés ou en radians. Il convertit l’entrée en radians en interne, calcule sin(x) et cos(x), puis applique les identités pour produire sin(2x), cos(2x) et tan(2x). Lorsque tan(2x) est indéfinie (quand l’angle double est un multiple impair de 90°), le calculateur affiche explicitement « Indéfini » plutôt qu’un nombre très grand ou trompeur. Les résultats sont affichés avec dix chiffres significatifs pour la précision.
Exemples de formule d’angle double
Angles de référence courants avec leurs valeurs exactes ou très précises de l’angle double.
| Angle (x) | sin(2x) / cos(2x) / tan(2x) | Remarques |
|---|---|---|
| x = 30° | sin(60°) = 0.866, cos(60°) = 0.5, tan(60°) = 1.732 | sin(2×30°) = 2 sin30° cos30° = 2 × 0.5 × 0.866 = 0.866. Un angle de référence courant avec des valeurs exactes. |
| x = 45° | sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) = Indéfini | Le double de 45° donne 90°. sin(90°) = 1, cos(90°) = 0. La tangente est indéfinie puisque cos(90°) = 0. |
| x = 60° | sin(120°) = 0.866, cos(120°) = −0.5, tan(120°) = −1.732 | L’angle double 120° se situe dans le deuxième quadrant : le sinus est positif, le cosinus est négatif et la tangente est négative. |
| x = π/6 rad (≈ 0.5236) | sin(π/3) ≈ 0.866, cos(π/3) = 0.5, tan(π/3) ≈ 1.732 | π/6 radians vaut 30°. Le résultat est identique au premier exemple, ce qui confirme la conversion d’unité. |
Comment utiliser le calculateur d’angle double
- Saisissez la valeur de l’angle x dans le champ Angle. Tout nombre réel est accepté — positif, négatif ou nul.
- Choisissez l’unité : Degrés pour des angles courants comme 30°, 45° et 60°, ou Radians pour des valeurs comme π/6.
- Sélectionnez le type de formule : Toutes les formules affiche sin(2x), cos(2x) et tan(2x) ; vous pouvez aussi choisir une seule formule si vous n’avez besoin que d’un résultat.
- Cliquez sur Calculer. Le panneau de résultats affiche les valeurs calculées pour les formules sélectionnées et marque tan(2x) comme Indéfini lorsque c’est nécessaire.
- Cliquez sur Réinitialiser pour effacer les saisies, ou modifiez l’angle et l’unité pour explorer d’autres valeurs.
FAQ du calculateur d’angle double
Quelle est la formule d’angle double pour le sinus ?
La formule d’angle double pour le sinus est sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). Elle se déduit de la formule d’addition sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) en prenant a et b égaux à x. Cette identité est utilisée en intégration, en physique et en traitement du signal.
Pourquoi existe-t-il trois versions de la formule d’angle double pour le cosinus ?
Les trois versions — cos(2x) = cos²x − sin²x, cos(2x) = 2cos²x − 1 et cos(2x) = 1 − 2sin²x — sont équivalentes. La première vient directement de la formule d’addition du cosinus. Les deux autres sont obtenues en remplaçant avec l’identité de Pythagore sin²x + cos²x = 1. Chaque forme est utile dans des contextes différents d’intégration et de simplification.
Quand tan(2x) est-elle indéfinie ?
tan(2x) est indéfinie lorsque cos(2x) = 0, ce qui se produit quand 2x = 90° + 180°k pour tout entier k, c’est-à-dire lorsque x = 45° + 90°k. À ces angles, la formule tan(2x) = 2tan(x)/(1 − tan²x) implique une division par zéro, et la tangente elle-même tend vers ±∞.
Comment utilise-t-on les formules d’angle double en calcul ?
Les formules d’angle double sont essentielles pour évaluer les intégrales de puissances de fonctions trigonométriques. Par exemple, ∫sin²(x)dx = ∫(1 − cos(2x))/2 dx, qui s’intègre facilement. Sans ces identités, de telles intégrales exigeraient des techniques bien plus complexes.
Peut-on appliquer les formules d’angle double aux angles négatifs ?
Oui. Comme sin et cos sont définies pour tous les nombres réels, les formules d’angle double fonctionnent aussi pour les angles négatifs. Par exemple, sin(2 × (−30°)) = sin(−60°) = −sin(60°) ≈ −0.866. Le calculateur accepte n’importe quel nombre réel comme angle.
Quel est le lien entre les formules d’angle double et les formules de demi-angle ?
Les formules de demi-angle sont dérivées en remplaçant x par x/2 dans les formules d’angle double. Par exemple, à partir de cos(2x) = 1 − 2sin²x, en remplaçant x → x/2 on obtient cos(x) = 1 − 2sin²(x/2), ce qui se réécrit en sin²(x/2) = (1 − cos x)/2. Ces formules de demi-angle sont utiles pour calculer les valeurs trigonométriques d’angles qui correspondent à la moitié d’angles de référence connus.