Calculateur d’élimination de Gauss-Jordan - Résoudre des systèmes linéaires
Résolvez des systèmes d’équations linéaires en transformant une matrice augmentée en forme échelonnée réduite.
Saisissez les coefficients de votre système linéaire, définissez les dimensions de la matrice, puis cliquez sur Résoudre pour obtenir la solution complète.
Calculateur d’élimination de Gauss-Jordan - Résoudre des systèmes linéaires
Résolvez des systèmes d’équations linéaires en transformant une matrice augmentée en forme échelonnée réduite.
Saisissez les coefficients de chaque équation. La dernière colonne correspond au terme constant (b).
| x1 | x2 | | | b |
|---|---|---|---|
| | | |||
| | |
À propos de l’élimination de Gauss-Jordan
L’élimination de Gauss-Jordan est un algorithme systématique pour résoudre des systèmes d’équations linéaires en appliquant des opérations élémentaires sur les lignes à une matrice augmentée jusqu’à ce qu’elle atteigne la forme échelonnée réduite (RREF). Nommée d’après Carl Friedrich Gauss et Wilhelm Jordan, cette méthode prolonge l’élimination de Gauss en poursuivant la réduction jusqu’à ce que chaque pivot vaille 1 et que tous les autres éléments de la colonne pivot soient 0. On peut ainsi lire la solution directement, sans remontée arrière.
Le processus commence par la construction de la matrice augmentée [A | b], où A contient les coefficients des variables et b les constantes du côté droit de chaque équation. Trois types d’opérations sur les lignes sont ensuite appliqués : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul et ajouter à une ligne un multiple d’une autre. Ces opérations ne modifient pas l’ensemble des solutions du système, de sorte que la matrice RREF finale représente un système équivalent.
Un système de n équations à n inconnues peut avoir exactement une solution (lorsque la matrice des coefficients est de rang plein), n’en avoir aucune (lorsqu’il est incompatible, ce qui se traduit souvent par une ligne nulle à gauche et une valeur non nulle à droite), ou en avoir une infinité (lorsqu’il est dépendant et possède moins de colonnes pivots que de variables). L’élimination de Gauss-Jordan identifie clairement ces trois cas.
La méthode est largement enseignée en algèbre linéaire car elle offre une procédure claire et algorithmique pour résoudre tout système linéaire. En pratique, les versions numériques de l’algorithme utilisent le pivot partiel pour améliorer la stabilité et réduire les erreurs d’arrondi. L’élimination de Gauss-Jordan sert de base au calcul des inverses de matrices, à la résolution des problèmes de moindres carrés et au calcul des espaces nuls.
Ce calculateur implémente l’élimination de Gauss-Jordan avec pivot partiel pour les systèmes 2x2, 3x3 et 4x4. Il affiche la matrice RREF complète ainsi que les valeurs de la solution, vous offrant à la fois le résultat et un aperçu de la structure algébrique du système.
Exemples
Systèmes linéaires représentatifs et leurs solutions :
| Système | Solution | Remarques |
|---|---|---|
| 2x + y = 5, 4x + 3y = 11 | x1 = 2, x2 = 1 | Solution unique 2x2 |
| 2x + y + z = 8, x + 3y - z = 10, x + y + 2z = 7 | x1 = 2, x2 = 3, x3 = 1 | Solution unique 3x3 |
| x + y = 3, 2x + 2y = 6 | Une infinité de solutions | Système dépendant |
| x + y = 3, x + y = 5 | Aucune solution | Système incompatible |
Mode d’emploi
- Sélectionnez le nombre d’équations (lignes) et de variables (colonnes) avec les boutons de taille.
- Saisissez le coefficient de chaque variable dans la case correspondante. La dernière colonne contient le terme constant.
- Cliquez sur Résoudre pour lancer l’élimination de Gauss-Jordan avec pivot partiel.
- Lisez la solution dans le panneau Solution. Si des valeurs uniques sont affichées pour chaque variable, ce sont vos réponses.
- Examinez la matrice RREF ci-dessous pour comprendre la structure algébrique ou vérifier le calcul.
Foire aux questions
Qu’est-ce que l’élimination de Gauss-Jordan ?
L’élimination de Gauss-Jordan est une extension de l’élimination de Gauss qui réduit une matrice augmentée jusqu’à la forme échelonnée réduite (RREF). Contrairement à l’élimination de Gauss, qui nécessite une remontée arrière, Gauss-Jordan produit une matrice dont on peut lire la solution directement.
Qu’est-ce que la forme échelonnée réduite (RREF) ?
Une matrice est en RREF lorsque chaque entrée principale (pivot) vaut 1, que tous les autres éléments d’une colonne pivot sont 0, et que les pivots apparaissent de gauche à droite en descendant. La RREF est unique pour une matrice donnée et code directement la solution du système linéaire.
Que signifie l’absence de solution ?
Un système est incompatible lorsque le processus d’élimination produit une ligne de la forme [0 0 ... 0 | k] avec k non nul. Cela signifie que les équations se contredisent et qu’aucun point ne satisfait toutes les équations simultanément.
Que signifie une infinité de solutions ?
Il y a une infinité de solutions lorsque la RREF comporte moins de pivots que de variables, laissant des variables libres. Chaque variable libre peut prendre n’importe quelle valeur réelle, ce qui génère une famille de solutions. L’ensemble des solutions forme une droite, un plan ou un sous-espace de dimension supérieure.
Qu’est-ce que le pivot partiel et pourquoi l’utilise-t-on ?
Le pivot partiel échange les lignes afin que la plus grande valeur absolue de la colonne courante devienne le pivot. Cela réduit les erreurs numériques causées par la division par des nombres très petits et rend l’algorithme plus stable en arithmétique à virgule flottante.
Puis-je utiliser cette méthode pour trouver l’inverse d’une matrice ?
Oui. Pour inverser une matrice A de taille n×n, on l’augmente avec la matrice identité n×n pour former [A | I], puis on applique l’élimination de Gauss-Jordan. Si A est inversible, le résultat est [I | A^-1], ce qui donne l’inverse directement. Ce calculateur se concentre sur les systèmes augmentés, mais il utilise les mêmes opérations sur les lignes.