Calculateur d’élimination de Gauss-Jordan
Résolvez des systèmes d’équations linéaires en transformant une matrice augmentée en forme échelonnée réduite par lignes.
Saisissez les coefficients de votre système linéaire, définissez les dimensions de la matrice, puis cliquez sur Résoudre pour obtenir la solution complète.
Calculateur d’élimination de Gauss-Jordan
Résolvez des systèmes d’équations linéaires en transformant une matrice augmentée en forme échelonnée réduite par lignes.
Saisissez les coefficients de chaque équation. La dernière colonne est le terme constant (b).
| x1 | x2 | | | b |
|---|---|---|---|
| | | |||
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À propos de l’élimination de Gauss-Jordan
L’élimination de Gauss-Jordan est un algorithme systématique qui résout les systèmes d’équations linéaires en appliquant des opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice augmentée jusqu’à obtenir la forme échelonnée réduite par lignes (RREF). Nommée d’après Carl Friedrich Gauss et Wilhelm Jordan, cette méthode prolonge l’élimination de Gauss en poursuivant la réduction jusqu’à ce que chaque pivot vaille 1 et que toutes les autres entrées de la colonne du pivot valent 0. Le résultat révèle directement la solution, sans nécessiter de substitution arrière.
Le processus commence par la formation de la matrice augmentée [A | b], où A contient les coefficients des variables et b contient les constantes du membre de droite de chaque équation. Trois types d’opérations sur les lignes sont appliqués : permuter deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul et ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne. Ces opérations ne changent pas l’ensemble des solutions du système ; la matrice RREF finale représente donc un système équivalent.
Un système de n équations à n inconnues peut avoir exactement une solution (lorsque la matrice des coefficients est de rang plein), aucune solution (lorsque le système est incompatible, indiqué par une ligne de zéros à gauche avec un membre de droite non nul) ou une infinité de solutions (lorsque le système est dépendant et possède moins de colonnes pivots que de variables). L’élimination de Gauss-Jordan identifie clairement ces trois cas.
Cette méthode est largement enseignée dans les cours d’algèbre linéaire, car elle fournit une démarche claire et algorithmique pour résoudre tout système linéaire. En pratique, les versions numériques de l’algorithme utilisent le pivot partiel afin d’améliorer la stabilité et de réduire les erreurs d’arrondi. L’élimination de Gauss-Jordan constitue la base du calcul d’inverses de matrices, de la résolution de problèmes des moindres carrés et du calcul des noyaux.
Ce calculateur implémente l’élimination de Gauss-Jordan avec pivot partiel pour les systèmes 2x2, 3x3 et 4x4. Il affiche la matrice RREF complète avec les valeurs de la solution, ce qui vous donne à la fois le résultat et un aperçu de la structure algébrique du système.
Exemples
Systèmes linéaires représentatifs et leurs solutions :
| Système | Solution | Notes |
|---|---|---|
| 2x + y = 5, 4x + 3y = 11 | x1 = 2, x2 = 1 | Solution unique 2x2 |
| 2x + y + z = 8, x + 3y - z = 10, x + y + 2z = 7 | x1 = 2, x2 = 3, x3 = 1 | Solution unique 3x3 |
| x + y = 3, 2x + 2y = 6 | Une infinité de solutions | Système dépendant |
| x + y = 3, x + y = 5 | Aucune solution | Système incompatible |
Mode d’emploi
- Sélectionnez le nombre d’équations (lignes) et de variables (colonnes) à l’aide des boutons de taille.
- Saisissez le coefficient de chaque variable dans la cellule correspondante de la matrice. La dernière colonne contient le terme constant.
- Cliquez sur Résoudre pour lancer l’élimination de Gauss-Jordan avec pivot partiel.
- Lisez la solution dans le panneau Solution. Si des valeurs uniques sont affichées pour chaque variable, ce sont vos réponses.
- Examinez la matrice RREF ci-dessous pour comprendre la structure algébrique ou vérifier le calcul.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que l’élimination de Gauss-Jordan ?
L’élimination de Gauss-Jordan est une extension de l’élimination de Gauss qui réduit une matrice augmentée jusqu’à la forme échelonnée réduite par lignes (RREF). Contrairement à l’élimination de Gauss, qui nécessite une substitution arrière, Gauss-Jordan produit une matrice où les solutions se lisent directement.
Qu’est-ce que la forme échelonnée réduite par lignes (RREF) ?
Une matrice est en RREF lorsque chaque entrée principale (pivot) vaut 1, que toutes les autres entrées d’une colonne pivot valent 0 et que les pivots apparaissent de gauche à droite en descendant. La RREF est unique pour toute matrice donnée et encode directement la solution du système linéaire.
Que signifie le fait qu’un système n’ait aucune solution ?
Un système est incompatible lorsque le processus d’élimination produit une ligne de la forme [0 0 ... 0 | k], où k est non nul. Cela signifie que les équations se contredisent et qu’aucun point ne les satisfait toutes simultanément.
Que signifie le fait qu’un système ait une infinité de solutions ?
Une infinité de solutions apparaît lorsque la RREF contient moins de pivots que de variables, laissant des variables libres. Chaque variable libre peut prendre n’importe quelle valeur réelle, générant une famille de solutions. L’ensemble des solutions forme une droite, un plan ou un sous-espace de dimension supérieure.
Qu’est-ce que le pivot partiel et pourquoi l’utiliser ?
Le pivot partiel permute les lignes afin que la plus grande valeur absolue de la colonne courante devienne le pivot. Cela réduit les erreurs numériques causées par la division par de très petits nombres, ce qui rend l’algorithme plus stable en arithmétique à virgule flottante.
Puis-je utiliser cette méthode pour trouver l’inverse d’une matrice ?
Oui. Pour inverser une matrice A de taille n par n, augmentez-la avec la matrice identité n par n afin de former [A | I], puis appliquez l’élimination de Gauss-Jordan. Si A est inversible, le résultat est [I | inverse de A], ce qui donne directement l’inverse. Ce calculateur se concentre sur les systèmes augmentés, mais les mêmes opérations sur les lignes s’appliquent.