Calculateur de cycloïde - Propriétés paramétriques

Une cycloïde est une courbe remarquable tracée par un point fixé sur le bord d’un cercle lorsque celui-ci roule le long d’une droite sans glisser. Elle a été nommée et étudiée sérieusement pour la première fois par Galilée au début du XVIIe siècle, puis elle a retenu l’attention de Blaise Pascal, des frères Bernoulli, de Christiaan Huygens et d’Isaac Newton. Malgré son origine mécanique simple, la cycloïde possède un ensemble surprenant de propriétés géométriques et physiques qui en font l’une des courbes les plus importantes de l’histoire des mathématiques. Les équations paramétriques qui définissent la cycloïde sont x = r(t − sin t) et y = r(1 − cos t), où r est le rayon du cercle roulant et t l’angle, mesuré en radians, dont le cercle a tourné. Lorsque t = 0, le point tracé se trouve à l’origine et touche la droite sur laquelle roule le cercle. Quand t augmente de 0 à 2π, le point décrit une arche complète, atteint sa hauteur maximale de 2r lorsque t = π, puis revient sur la ligne de base en x = 2πr lorsque t = 2π. Ce cycle se répète indéfiniment tant que le cercle continue de rouler, produisant une suite d’arches identiques. L’une des propriétés les plus frappantes de la cycloïde est la longueur d’une arche unique. Alors que la circonférence du cercle générateur vaut 2πr, la longueur d’une arche de cycloïde est exactement 8r, soit quatre fois le diamètre, ou environ 2,546 fois la circonférence. Ce résultat, démontré pour la première fois par Christopher Wren en 1658, a surpris les mathématiciens de l’époque parce qu’il donnait un multiple rationnel simple du rayon plutôt qu’un multiple irrationnel faisant intervenir π. L’aire sous une arche est tout aussi remarquable. Elle vaut 3πr², soit précisément trois fois l’aire du cercle générateur πr². Ce résultat a été établi par Gilles de Roberval en 1634 et fait partie des premiers résultats importants obtenus par des méthodes qui annonçaient le calcul intégral. La cycloïde est aussi la solution de deux célèbres problèmes variationnels. Le problème de la brachistochrone, posé par Johann Bernoulli en 1696, demande quelle courbe permet la descente la plus rapide sous l’effet de la gravité entre deux points qui ne sont pas sur une même verticale ; la réponse est une cycloïde. Le problème de la tautochrone demande une courbe sur laquelle un objet glisse jusqu’au point le plus bas dans le même temps quelle que soit sa position de départ ; la réponse est encore une cycloïde. Huygens a utilisé cette propriété tautochrone pour concevoir des horloges à pendule cycloïdal plus précises que les pendules ordinaires. En ingénierie, les profils cycloïdaux apparaissent dans les dents d’engrenage, les mécanismes à came et les réducteurs compacts appelés entraînements cycloïdaux. En robotique, les réducteurs cycloïdaux à fort rapport de réduction assurent une transmission précise du couple dans un faible encombrement. L’infographie et l’animation utilisent des courbes cycloïdales et épicycloïdales pour générer des trajectoires de mouvement d’aspect organique. Ce calculateur vous permet d’explorer toutes ces propriétés en saisissant n’importe quel rayon positif et n’importe quelle valeur de paramètre.