Calculateur de coefficient binomial
Calculez C(n, k), le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, pour la combinatoire, les probabilités et le triangle de Pascal.
Saisissez n (nombre total d’éléments) et k (éléments à choisir), puis cliquez sur Calculer pour obtenir le coefficient binomial exact avec sa formule.
Calculateur de coefficient binomial
Calculez C(n, k), le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, pour la combinatoire, les probabilités et le triangle de Pascal.
À propos du calculateur de coefficient binomial
Le coefficient binomial C(n, k), aussi appelé « n parmi k » ou noté ⁿCₖ, est le nombre de façons de sélectionner exactement k éléments dans un ensemble de n éléments distincts lorsque l’ordre ne compte pas. C’est une grandeur fondamentale en combinatoire, présente aussi en probabilités, algèbre, statistique et informatique.
La formule est C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!). Le point d’exclamation désigne la factorielle : n! = n × (n−1) × (n−2) × ⋯ × 2 × 1, avec 0! = 1 par convention. Par exemple, C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10 : il existe 10 façons de choisir 2 éléments parmi 5.
Les coefficients binomiaux sont les entrées du triangle de Pascal. Chaque nombre y est la somme des deux nombres situés directement au-dessus. L’entrée de la ligne n et de la colonne k, en comptant à partir de zéro, vaut exactement C(n, k). Cela découle de l’identité de Pascal : C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k), selon que l’élément considéré est inclus ou exclu.
Le nom vient du théorème du binôme : (x + y)ⁿ = Σ C(n, k) × xᵏ × y^(n−k), pour k de 0 à n. Le coefficient de chaque terme xᵏ y^(n−k) dans le développement est C(n, k). Ainsi, (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³, avec les coefficients 1, 3, 3, 1 égaux à C(3,0), C(3,1), C(3,2), C(3,3).
En probabilités, ces coefficients apparaissent dans la loi binomiale, qui modélise le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès p. La probabilité d’obtenir exactement k succès est C(n, k) × p^k × (1−p)^(n−k). Les mains de poker, billets de loterie, choix de comités ou chaînes binaires avec un nombre fixé de 1 se ramènent directement à ce calcul.
Pour de grands n et k, le calcul direct des factorielles peut provoquer un dépassement d’entier. Les algorithmes efficaces utilisent la formule multiplicative C(n, k) = ∏ (n − i) / (i + 1), pour i de 0 à k−1, afin de garder des valeurs intermédiaires plus petites. Ce calculateur utilise une arithmétique entière exacte pour fournir des résultats précis pour les entrées pratiques.
Exemples de coefficients binomiaux
Des situations concrètes où C(n, k) donne le nombre d’issues possibles.
| C(n, k) | Résultat | Signification concrète |
|---|---|---|
| C(5, 2) | 10 | Nombre de façons de choisir 2 éléments parmi 5, par exemple des paires dans un groupe de 5 personnes. |
| C(52, 5) | 2,598,960 | Nombre de mains de poker possibles de 5 cartes dans un jeu standard de 52 cartes. |
| C(8, 3) | 56 | Ligne 8, position 3 du triangle de Pascal ; aussi le nombre de sous-ensembles de 3 éléments d’un ensemble de 8. |
| C(12, 4) | 495 | Façons de sélectionner une équipe de 4 parmi 12 candidats, sans tenir compte de l’ordre. |
Comment utiliser le calculateur de coefficient binomial
- Saisissez n, le nombre total d’éléments de l’ensemble. n doit être un entier non négatif.
- Saisissez k, le nombre d’éléments à choisir. k doit être compris entre 0 et n inclus.
- Cliquez sur « Calculer C(n, k) ». Le résultat affiche le coefficient binomial exact et la formule développée.
- Cliquez sur Réinitialiser pour vider les deux champs et entrer de nouvelles valeurs.
FAQ sur le coefficient binomial
Que signifie C(n, k) ?
C(n, k) est le nombre de façons de choisir k éléments parmi n éléments distincts lorsque l’ordre ne compte pas. On l’appelle aussi coefficient binomial, « n parmi k » ou combinaison. Par exemple, C(6, 2) = 15 car 6 éléments permettent de former 15 paires distinctes.
Quelle est la différence entre combinaison et permutation ?
Dans une combinaison, l’ordre ne compte pas : {A, B} est identique à {B, A}. Le nombre est C(n, k) = n! / (k! (n−k)!). Dans une permutation, l’ordre compte : A puis B diffère de B puis A. Le nombre est P(n, k) = n! / (n−k)!, et P(n, k) = k! × C(n, k).
Pourquoi C(n, 0) = 1 et C(n, n) = 1 ?
C(n, 0) compte les façons de choisir 0 élément parmi n : il existe une seule façon de ne rien choisir. C(n, n) compte les façons de choisir tous les n éléments : il n’y en a aussi qu’une. Les deux résultats viennent de n!/(0! × n!) = 1 et n!/(n! × 0!) = 1.
Quel est le lien avec le triangle de Pascal ?
Dans le triangle de Pascal, chaque entrée est la somme des deux entrées situées au-dessus. L’entrée de la ligne n et de la colonne k, en partant de 0, est C(n, k). Cela suit l’identité C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k).
Qu’est-ce que le théorème du binôme ?
Le théorème du binôme dit que (x + y)ⁿ = Σ C(n, k) xᵏ y^(n−k), sommé pour k de 0 à n. Les coefficients binomiaux sont les facteurs numériques de chaque terme ; par exemple, dans (x + y)⁴, les coefficients 1, 4, 6, 4, 1 correspondent à C(4,0) jusqu’à C(4,4).
k peut-il être supérieur à n ?
Non. Si k > n, on ne peut pas choisir plus d’éléments qu’il n’en existe dans l’ensemble, donc C(n, k) est défini comme 0. Le calculateur affichera une erreur si vous saisissez k > n.