Conversor de fracciones binarias

Las fracciones binarias extienden los enteros binarios al ámbito de las cantidades no enteras usando valores posicionales que son potencias negativas de dos. Así como el sistema decimal asigna las posiciones a la derecha del punto decimal a décimas (10⁻¹), centésimas (10⁻²), milésimas (10⁻³), y así sucesivamente, el sistema binario asigna esas mismas posiciones a mitades (2⁻¹ = 0.5), cuartos (2⁻² = 0.25), octavos (2⁻³ = 0.125), dieciseisavos (2⁻⁴ = 0.0625), y así sucesivamente. Cada bit a la derecha del punto binario representa una de estas potencias descendentes de dos. Convertir una fracción binaria a decimal es directo. Divide el número en el punto binario. Convierte la parte entera con el método estándar: el bit más a la derecha es 2⁰, el siguiente es 2¹, y así hacia la izquierda. Para la parte fraccionaria, el bit más a la izquierda después del punto binario se multiplica por 2⁻¹, el siguiente por 2⁻² y cada bit posterior por potencias negativas sucesivas. Suma todas las contribuciones para obtener el valor decimal exacto. Por ejemplo, 101.101 en binario es (1×4) + (0×2) + (1×1) + (1×0.5) + (0×0.25) + (1×0.125) = 5 + 0.5 + 0.125 = 5.625. Convertir una fracción decimal a binario requiere dos procedimientos separados. La parte entera se convierte mediante divisiones repetidas entre 2, registrando los restos. La parte fraccionaria se convierte mediante multiplicaciones repetidas por 2: multiplica la fracción por 2, registra la parte entera del resultado (0 o 1) como el siguiente dígito binario y continúa con la fracción restante. Repite hasta que la fracción sea cero o hasta alcanzar la precisión deseada. Para 5.625: entero 5 = 101₂; fracción 0.625 × 2 = 1.25 → bit 1; 0.25 × 2 = 0.5 → bit 0; 0.5 × 2 = 1.0 → bit 1; la fracción llega a cero, así que el resultado es 101.101₂. Un punto crítico es que no todas las fracciones decimales tienen representaciones binarias finitas. Así como 1/3 no puede escribirse como decimal terminado, muchas fracciones decimales simples —incluidas 0.1, 0.2 y 0.3— requieren infinitos bits binarios para representarse exactamente. Esta es la causa raíz de los errores de redondeo de punto flotante en las computadoras. La configuración de precisión de este conversor controla cuántos bits fraccionarios se calculan; aumentarla da una aproximación más cercana, pero puede no producir nunca un resultado exacto para fracciones no terminantes. Las fracciones binarias se usan de forma generalizada en computación. El estándar IEEE 754 de aritmética de punto flotante codifica números de precisión simple y doble como fracciones binarias con un bit inicial 1 implícito y un exponente sesgado. Los procesadores de señal digital representan datos de audio e imagen como fracciones binarias de punto fijo llamadas números en formato Q. Comprender cómo los valores decimales se asignan a fracciones binarias es esencial para cualquiera que escriba código de bajo nivel, trabaje con sistemas embebidos o depure problemas de precisión numérica en software.