Calculadora de valores singulares - SVD

La descomposición en valores singulares (SVD) es una de las factorizaciones más importantes del álgebra lineal. Para cualquier matriz real m×n A, la SVD expresa A como A = UΣV^T, donde U es una matriz ortogonal m×m, Σ es una matriz diagonal m×n con entradas no negativas en la diagonal y V es una matriz ortogonal n×n. Las entradas diagonales σ₁ ≥ σ₂ ≥ … ≥ 0 de Σ son los valores singulares de A. Los valores singulares son siempre números reales no negativos, incluso cuando la matriz original contiene entradas negativas o estructura compleja. Quedan determinados de forma única por la matriz, a diferencia de los vectores U y V, que pueden no ser únicos cuando los valores singulares se repiten. El número de valores singulares no nulos es igual al rango de la matriz, que mide la dimensión del espacio columna (el conjunto de todas las salidas posibles de la transformación lineal representada por A). La relación entre SVD y autovalores es precisa: los valores singulares de A son las raíces cuadradas de los autovalores de la matriz simétrica semidefinida positiva A^T·A (o equivalentemente A·A^T para los vectores singulares izquierdos). Esta calculadora calcula A^T·A y aplica el algoritmo de autovalores de Jacobi —un método iterativo que anula los elementos fuera de la diagonal de una matriz simétrica mediante una secuencia de rotaciones ortogonales llamadas rotaciones de Givens— para encontrar sus autovalores y luego toma sus raíces cuadradas. El mayor valor singular σ₁ es igual a la norma espectral (también llamada norma 2 o norma operatoria) de la matriz: el máximo factor por el que la matriz puede estirar un vector unitario. La norma de Frobenius es la raíz cuadrada de la suma de todos los valores singulares al cuadrado, y también equivale a la raíz cuadrada de la suma de todos los elementos de la matriz al cuadrado. Estas normas tienen relevancia práctica: la norma de Frobenius es la medida más natural de la energía total de una matriz, mientras que la norma espectral controla la sensibilidad frente a perturbaciones. El número de condición κ = σ₁/σₙ (cociente entre el mayor y el menor valor singular) cuantifica qué tan bien condicionada está la matriz para resolver sistemas lineales. Un número de condición cercano a 1 significa que el sistema está bien condicionado y es fácil de resolver con precisión. Un número de condición muy grande —por ejemplo, superior a 10⁶ o 10¹²— indica un sistema mal condicionado, donde pequeñas perturbaciones en la entrada pueden causar grandes cambios en la solución, una fuente común de inestabilidad numérica en computación científica y aprendizaje automático. La SVD tiene una amplia gama de aplicaciones. En ciencia de datos, el análisis de componentes principales (PCA), la herramienta principal de la reducción de dimensionalidad, es matemáticamente equivalente a calcular la SVD de la matriz de datos centrada. Los componentes principales son los vectores singulares derechos V, y la varianza explicada por cada componente es proporcional al cuadrado del valor singular correspondiente. En procesamiento y compresión de imágenes, conservar solo los k valores singulares más grandes y sus vectores asociados produce una aproximación de rango k de la matriz de la imagen que minimiza el error en norma de Frobenius entre todas las matrices de rango k; esto es el teorema de Eckart-Young. En sistemas de recomendación (filtrado colaborativo), la factorización matricial mediante SVD se usa para predecir las valoraciones de usuarios para elementos no vistos. En ingeniería, la pseudoinversa A† = VΣ†U^T proporciona la solución de mínimos cuadrados de norma mínima para sistemas sobredeterminados o subdeterminados, lo cual es crítico en robótica, teoría de control y procesamiento de señales. Para esta calculadora, las matrices de hasta aproximadamente 10×10 se manejan de forma fiable mediante el algoritmo de Jacobi. Las matrices muy grandes o con muchos valores singulares casi duplicados pueden perder algo de precisión debido al redondeo acumulado de coma flotante, pero los resultados son precisos al menos con seis cifras significativas para entradas típicas.