Calculadora del triángulo de Pascal - Genera coeficientes binomiales

El triángulo de Pascal es una de las estructuras más celebradas de las matemáticas. Es una disposición triangular de números en la que cada entrada es la suma de las dos que están directamente encima en la fila anterior. El triángulo comienza con un solo 1 en el vértice (fila 0) y cada fila siguiente se construye sumando pares adyacentes. La fila 1 es [1, 1]; la fila 2 es [1, 2, 1]; la fila 3 es [1, 3, 3, 1]; la fila 4 es [1, 4, 6, 4, 1], y así sucesivamente. Cada entrada del triángulo es un coeficiente binomial, escrito C(n, k) o «n elige k», definido como n! / (k! × (n−k)!). La entrada de la fila n en la posición k (contando desde 0) es C(n, k), es decir, el número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos sin importar el orden. Esta conexión con la combinatoria convierte al triángulo de Pascal en una tabla compacta de conteos combinatorios y en una herramienta fundamental de la teoría de la probabilidad. En álgebra, el teorema del binomio afirma que (a + b)ⁿ = Σ C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ para k de 0 a n. Los coeficientes de esa expansión son exactamente las entradas de la fila n del triángulo de Pascal. Expandir (x + 1)⁵ da los coeficientes 1, 5, 10, 10, 5, 1, precisamente la fila 5. Esto hace del triángulo de Pascal un atajo indispensable para expansiones polinomiales y para calcular probabilidades en distribuciones binomiales. El triángulo contiene una cantidad asombrosa de patrones ocultos. Las diagonales poco profundas suman números de Fibonacci. Las filas dan las potencias de 11: la fila 0 es 1, la fila 1 es 11, la fila 2 es 121, la fila 3 es 1331 y la fila 4 es 14641. La identidad del palo de hockey establece que la suma de una diagonal de entradas es igual a la entrada un paso por debajo del final de la diagonal. Colorear las entradas pares o impares produce el patrón fractal conocido como triángulo de Sierpiński. Más allá de las matemáticas puras, el triángulo de Pascal aparece en probabilidad (distribuciones binomial y binomial negativa), en combinatoria (caminos en retículas, subconjuntos, combinaciones con repetición), en teoría de números (filas primas cuyos elementos no extremos son todos divisibles por el número de la fila), en informática (algoritmos de programación dinámica para combinaciones) y en matemáticas financieras (modelos binomiales de valoración de opciones). La calculadora te permite generar hasta 20 filas al instante, resaltar cualquier fila específica y alternar entre visualización triangular y lineal para estudiar la estructura con el nivel de detalle que necesites.