Calculadora de regla de Cramer - Sistemas y determinantes
Resuelve sistemas de ecuaciones lineales 2×2 y 3×3 con la regla de Cramer. Ingresa la matriz de coeficientes y las constantes para obtener soluciones exactas con pasos de determinantes.
Selecciona el tamaño del sistema, ingresa la matriz de coeficientes y el vector de constantes, y haz clic en Resolver para ver la solución y todos los determinantes intermedios.
Calculadora de regla de Cramer - Sistemas y determinantes
Resuelve sistemas de ecuaciones lineales 2×2 y 3×3 con la regla de Cramer. Ingresa la matriz de coeficientes y las constantes para obtener soluciones exactas con pasos de determinantes.
Ingresa filas separadas por punto y coma (;) y elementos por comas (,)
Ingresa las constantes separadas por comas (,)
Acerca de la calculadora de regla de Cramer
La regla de Cramer es un teorema de álgebra lineal que proporciona una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas, cuando el sistema tiene una solución única. Nombrada en honor al matemático suizo Gabriel Cramer, quien la publicó en 1750, la regla expresa el valor de cada incógnita como una razón de dos determinantes: el determinante del numerador se obtiene a partir de la matriz de coeficientes reemplazando la columna correspondiente a esa incógnita por el vector de constantes, y el denominador es el determinante de la matriz de coeficientes original.
Para un sistema 2×2 ax + by = e, cx + dy = f, la matriz de coeficientes es A = [[a,b],[c,d]] y el determinante D = ad − bc. Si D ≠ 0, la solución única es x = (ed − bf)/D e y = (af − ce)/D. Para un sistema 3×3 deben calcularse cuatro determinantes: uno para la matriz de coeficientes y uno para la matriz sustituida de cada variable.
La condición D ≠ 0 es esencial. Cuando D = 0, la matriz de coeficientes es singular, lo que significa que el sistema no tiene solución (las ecuaciones son contradictorias) o tiene infinitas soluciones (las ecuaciones son redundantes). La regla de Cramer no puede determinar cuál de los casos corresponde; para sistemas singulares debes usar otros métodos, como eliminación gaussiana o reducción por filas.
La regla de Cramer tiene propiedades teóricas importantes, aunque no sea el método computacional más eficiente. Da una expresión cerrada explícita para cada variable, útil en álgebra simbólica, análisis de sensibilidad y demostraciones. Por ejemplo, cuando todos los coeficientes y constantes son enteros, la regla garantiza que el numerador y el denominador de cada solución también son enteros; por lo tanto, las entradas racionales siempre producen soluciones racionales. Esta propiedad de preservación de la racionalidad se aprovecha en cálculos aritméticos exactos.
Desde el punto de vista computacional, la regla de Cramer es práctica para sistemas 2×2 y 3×3 porque los determinantes se calculan rápidamente. Para sistemas más grandes, la eliminación gaussiana es mucho más eficiente (O(n³) frente a O(n!) para la expansión ingenua de determinantes), pero para los sistemas pequeños que aborda esta calculadora, la regla de Cramer ofrece una visión clara y paso a paso del proceso de solución. Los valores de determinantes mostrados en el panel de resultados te permiten verificar cada paso de forma independiente.
Ejemplos de la regla de Cramer
Sistemas de distintos tamaños con sus soluciones paso a paso mediante determinantes.
| Sistema | Solución | Notas |
|---|---|---|
| 2x + y = 5, x + 3y = 4 | x = 2.2, y = 0.6 | Matriz: 2,1;1,3, constantes: 5,4 — D=5, Dx=11, Dy=3 → x=2.2, y=0.6. |
| 2x + 3y = 13, x − y = 0 | x = 2.6, y = 2.6 | Matriz: 2,3;1,-1 — ambas variables son iguales. D=−5, Dx=−13, Dy=−13 → x=y=2.6. |
| x + 2y + 3z = 14, 2x + y + 2z = 10, 3x + 2y + z = 10 | x = 1, y = 2, z = 3 | Sistema 3×3 con solución entera. D=8, Dx=8, Dy=16, Dz=24 → x=1, y=2, z=3. |
Cómo usar la calculadora de regla de Cramer
- Selecciona el tamaño del sistema: 2×2 para sistemas de dos variables o 3×3 para sistemas de tres variables.
- Ingresa la matriz de coeficientes en el campo “Matriz de coeficientes (A)”. Separa los elementos de una fila con comas y las filas con punto y coma. Por ejemplo: “2,3;1,-1” representa [[2,3],[1,−1]].
- Ingresa el vector de constantes en el campo “Vector de constantes (b)” como valores separados por comas que coincidan con el número de ecuaciones.
- Haz clic en “Resolver sistema”. El resultado muestra el valor de cada variable y los determinantes D, Dx, Dy (y Dz para sistemas 3×3).
- Si el determinante es cero, el sistema es singular y no tiene solución única; la calculadora te lo indicará en lugar de mostrar una solución.
Preguntas frecuentes sobre la regla de Cramer
¿Qué es la regla de Cramer?
La regla de Cramer es una fórmula para resolver un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas cuando la matriz de coeficientes es invertible (no singular). Cada incógnita se expresa como la razón de dos determinantes: el determinante principal de la matriz de coeficientes en el denominador y un determinante modificado, donde la columna de esa variable se reemplaza por el vector de constantes, en el numerador. Proporciona una solución explícita en forma cerrada, no una solución algorítmica.
¿Cuándo falla la regla de Cramer?
La regla de Cramer falla cuando el determinante de la matriz de coeficientes es cero. Esto indica una matriz singular, lo que significa que el sistema no tiene solución (inconsistente: las ecuaciones se contradicen) o tiene infinitas soluciones (dependiente: algunas ecuaciones son combinaciones redundantes de otras). En cualquier caso, debes usar eliminación gaussiana o reducción por filas para determinar la naturaleza exacta del conjunto de soluciones.
¿Es eficiente la regla de Cramer para sistemas grandes?
No. La regla de Cramer es costosa computacionalmente para sistemas grandes. Calcular un determinante por expansión de cofactores requiere O(n!) operaciones, por lo que resulta impráctico para sistemas mayores que aproximadamente 4×4. La eliminación gaussiana resuelve un sistema n×n en O(n³) operaciones, lo que es muchísimo más eficiente. La regla de Cramer es más adecuada para sistemas 2×2 y 3×3, o para trabajo teórico y simbólico donde una expresión cerrada es valiosa.
¿Cuál es el formato de entrada de la matriz?
Ingresa filas separadas por punto y coma y elementos dentro de cada fila separados por comas. Para el sistema 2×2 2x + 3y = 5, x − y = 4, ingresa “2,3;1,-1” para la matriz y “5,4” para las constantes. Para un sistema 3×3, usa tres filas: “1,2,3;4,5,6;7,8,10”. Los números negativos usan el signo menos estándar.
¿La regla de Cramer admite coeficientes fraccionarios o decimales?
Sí. Esta calculadora admite cualquier coeficiente real, incluidos decimales y fracciones ingresadas como decimales (por ejemplo, 0.5 en lugar de 1/2). La aritmética subyacente usa punto flotante de doble precisión IEEE 754, que ofrece alrededor de 15–16 dígitos significativos de precisión. Para sistemas con coeficientes enteros exactos o fracciones simples, los resultados serán exactos dentro del redondeo.
¿Cómo verifico mi solución?
Sustituye los valores calculados de x, y (y z) en cada ecuación original y verifica que ambos lados sean iguales. Por ejemplo, si resolviste 2x + y = 5 y x + 3y = 4 y obtuviste x = 2.2, y = 0.6, comprueba: 2(2.2) + 0.6 = 5 ✓ y 2.2 + 3(0.6) = 4 ✓. Los valores de los determinantes que aparecen en el panel de resultados también te permiten verificar paso a paso el cálculo de la regla de Cramer.