Calculadora de raíces complejas - Raíces n-ésimas por De Moivre

Todo número complejo no nulo tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas, y esta calculadora las encuentra todas a la vez usando la forma polar de un número complejo junto con el teorema de De Moivre. Dado un número complejo z = a + bi, su módulo es r = √(a² + b²) y su argumento es θ = atan2(b, a). En forma polar, z = r(cosθ + i·sinθ), y las n raíces n-ésimas son z_k = r^(1/n) · (cos((θ + 2πk)/n) + i·sin((θ + 2πk)/n)) para k = 0, 1, …, n − 1. Geométricamente, las n raíces se sitúan en un círculo de radio r^(1/n) centrado en el origen del plano complejo, separadas uniformemente por 2π/n radianes. La raíz con k = 0 se llama raíz principal y está más cerca del eje real positivo (su argumento es θ/n). Al girar 2π/n alrededor del origen se pasa de una raíz a la siguiente, por eso las raíces de la unidad forman un polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia unitaria. Las raíces complejas no son solo una curiosidad algebraica. En ingeniería eléctrica, las raíces de la unidad describen fasores en sistemas trifásicos y sustentan la Transformada Discreta de Fourier usada en el procesamiento digital de señales. En teoría de control, la ubicación de las raíces en el plano complejo determina la estabilidad de los sistemas lineales. En mecánica cuántica, las amplitudes complejas y sus raíces aparecen en las funciones de onda y en el análisis de potenciales periódicos. Incluso en la teoría de números pura, las raíces n-ésimas de la unidad generan campos ciclotómicos, objetos centrales en el álgebra moderna. Un error común es pensar que un número complejo solo tiene una raíz, o que la raíz cuadrada de −1 solo vale i. En realidad, −1 tiene dos raíces cuadradas — i y −i — y 1 tiene n raíces n-ésimas distintas para todo entero positivo n. La calculadora las muestra todas en la forma a_k + b_k·i, redondeadas a un número fijo de decimales para que puedas ver patrones numéricos como la simetría de los pares conjugados. Para entradas reales con grado par, las raíces aparecen en pares conjugados; para n impar y la entrada sobre el eje real negativo, exactamente una raíz es real y negativa. Usa esta calculadora de raíces complejas siempre que necesites resolver z^n = w para un w complejo arbitrario, factorizar polinomios sobre los complejos, estudiar raíces de la unidad o revisar ejercicios de análisis complejo o matemáticas de ingeniería.