Calculadora de producto tensorial

El producto tensorial, también llamado producto externo en el contexto de vectores, es una operación fundamental del álgebra lineal que toma dos vectores y produce una matriz. Dado un vector u con m componentes y un vector v con n componentes, su producto tensorial u ⊗ v es una matriz m × n en la que el elemento de la fila i y la columna j es uᵢ multiplicado por vⱼ. Esto contrasta claramente con el producto punto, que reduce dos vectores a un único escalar, o con el producto cruz, que solo se aplica a vectores tridimensionales y devuelve otro vector. Matemáticamente, si u = [u₁, u₂, …, uₘ] y v = [v₁, v₂, …, vₙ], entonces (u ⊗ v)ᵢⱼ = uᵢvⱼ para cualquier par válido (i, j). El cálculo tiene complejidad temporal O(mn), lo que lo hace eficiente incluso para vectores moderadamente grandes. El producto tensorial es bilineal: escalar cualquiera de los vectores escala el resultado por el mismo factor, y además distribuye sobre la suma de vectores. El producto tensorial no es conmutativo: u ⊗ v y v ⊗ u suelen ser matrices distintas (una es m × n y la otra n × m), salvo que m = n y exista alguna relación especial. El primer vector siempre determina las filas y el segundo siempre determina las columnas. Esta asimetría importa especialmente en física y aprendizaje automático, donde el orden tiene un significado físico o semántico. En mecánica cuántica, los productos tensoriales son indispensables para describir sistemas compuestos. Cuando se combinan dos sistemas cuánticos, el espacio de estados del sistema compuesto es el producto tensorial de los espacios de estados individuales. Por ejemplo, un sistema de dos qubits tiene un espacio de estados de 4 dimensiones que es el producto tensorial de dos espacios de qubit de 2 dimensiones. El entrelazamiento cuántico surge precisamente cuando un estado compuesto no puede escribirse como un simple producto tensorial de estados individuales. En aprendizaje automático y ciencia de datos, los productos tensoriales (y sus generalizaciones de orden superior, llamadas tensores) sustentan el mecanismo de atención en los modelos Transformer, las operaciones de cruce de características en sistemas de recomendación y las convoluciones separables en el procesamiento de imágenes. Un kernel de desenfoque gaussiano, por ejemplo, es el producto tensorial de un filtro gaussiano horizontal 1-D con un filtro gaussiano vertical 1-D, lo que permite un cálculo separable eficiente. En el procesamiento de señales, representar filtros multidimensionales como productos tensoriales de filtros 1-D permite ahorros computacionales significativos. La representación como vector aplanado que produce esta calculadora es especialmente útil cuando necesitas pasar el resultado a una operación posterior que espera una entrada 1-D, como una capa totalmente conectada de una red neuronal.