Calculadora de ortogonalización Gram-Schmidt

El proceso de Gram-Schmidt es uno de los algoritmos más importantes del álgebra lineal. Dado un conjunto de vectores linealmente independientes, produce de forma sistemática un nuevo conjunto de vectores mutuamente ortogonales que generan el mismo subespacio. Cuando cada uno de esos vectores ortogonales se divide además por su propia longitud para obtener un vector unitario, el resultado se llama base ortonormal. Las bases ortonormales son el estándar de oro en álgebra lineal porque simplifican casi cualquier cálculo que implique proyecciones, rotaciones, reflexiones y descomposiciones. El algoritmo avanza de forma inductiva. El primer vector de salida es simplemente el primer vector de entrada, sin cambios. El segundo vector de salida es el segundo vector de entrada menos su proyección sobre el primer vector de salida; esto garantiza que el segundo sea perpendicular al primero. El tercer vector de salida es el tercer vector de entrada con sus proyecciones sobre los dos primeros salidas eliminadas. En general, el k-ésimo vector de salida es el k-ésimo vector de entrada menos la suma de sus proyecciones sobre todos los vectores de salida anteriores. La fórmula de la proyección de un vector v sobre un vector u ya ortogonalizado es (v·u / u·u) × u, donde · denota el producto escalar. Si, durante este proceso, el resultado de restar todas las proyecciones es el vector cero, el vector de entrada era linealmente dependiente de los anteriores y simplemente se descarta. La calculadora lo gestiona automáticamente y muestra el rango del conjunto de entrada, es decir, el número de vectores realmente independientes. En la práctica, se usa un pequeño umbral numérico para detectar vectores casi nulos debidos al redondeo en coma flotante. La base ortonormal se obtiene dividiendo cada vector ortogonal de salida por su norma euclídea (la raíz cuadrada de su producto escalar consigo mismo). El resultado es un conjunto de vectores unitarios, cada uno de longitud exactamente 1 y orientado en direcciones mutuamente perpendiculares. Este conjunto ortonormal forma lo que se denomina un marco ortonormal para el subespacio generado por las entradas originales. Las aplicaciones del proceso de Gram-Schmidt abarcan prácticamente todos los campos cuantitativos. En álgebra lineal numérica sustenta la descomposición QR, que se usa para resolver problemas de mínimos cuadrados y calcular autovalores. En procesamiento de señales, se utiliza para construir bancos de filtros ortogonales y separar componentes independientes de la señal. En mecánica cuántica, el espacio de estados de un sistema cuántico es un espacio de Hilbert y los observables físicos corresponden a bases ortonormales de vectores propios. En estadística y aprendizaje automático, el análisis de componentes principales (PCA) puede entenderse como la búsqueda de una base ortonormal alineada con las direcciones de máxima varianza de un conjunto de datos. En gráficos por computadora, construir una cámara o un sistema de referencia requiere tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares, tarea que Gram-Schmidt resuelve de forma natural. Esta calculadora acepta vectores de cualquier dimensión, maneja con elegancia las entradas dependientes linealmente y muestra tanto los vectores ortogonales intermedios como los vectores ortonormales finales, uno al lado del otro, para que puedas ver cada paso de la transformación.