Calculadora de número de condición de matrices

El número de condición de una matriz invertible A se define como κ(A) = ‖A‖ · ‖A⁻¹‖, donde ‖·‖ denota cualquier norma matricial compatible. Mide cuánto puede amplificarse el error relativo en la solución x de un sistema lineal A·x = b por un error relativo en b. En términos intuitivos, una matriz con número de condición pequeño está bien condicionada: los pequeños errores de entrada producen pequeños errores de salida. Una matriz con número de condición grande está mal condicionada: incluso el redondeo microscópico en coma flotante puede producir soluciones muy inexactas. Esta calculadora admite matrices 2 × 2 y 3 × 3, y tres de las normas matriciales más usadas. La norma 1 es la suma absoluta máxima por columnas, ‖A‖₁ = max_j Σᵢ |aᵢⱼ|. La norma infinito es la suma absoluta máxima por filas, ‖A‖∞ = max_i Σⱼ |aᵢⱼ|. La norma de Frobenius es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de todos los elementos, ‖A‖_F = √(Σᵢⱼ |aᵢⱼ|²), y es el análogo matricial de la norma euclídea vectorial. Para matrices 2 × 2, la inversa se calcula analíticamente como A⁻¹ = (1/det A) · [[d, −b], [−c, a]]. Para matrices 3 × 3 se usa la fórmula del cofactor (adjunta). Los números de condición son fundamentales en el álgebra lineal numérica. Cuando resuelves un sistema lineal en un ordenador mediante descomposición LU o eliminación gaussiana, el error relativo en la solución calculada está acotado aproximadamente por κ(A) · ε, donde ε es la precisión de máquina (unos 10⁻¹⁶ en doble precisión IEEE-754). Por tanto, un número de condición de 10⁶ significa que puedes perder hasta seis cifras de precisión solo por el redondeo. Como regla general, las matrices con κ < 100 se consideran bien condicionadas, las que tienen κ entre 100 y 1000 son moderadas, y cualquier valor por encima de 10³ se considera mal condicionado y debe tratarse con cuidado. Hay algunas advertencias importantes. El número de condición depende de la norma elegida, así que los valores calculados con distintas normas no son directamente comparables, aunque normalmente difieren solo por un factor constante pequeño. El número de condición de la norma 2 (norma espectral), definido mediante valores singulares, es el más natural teóricamente, pero es más costoso de calcular y no se ofrece aquí. Una matriz singular tiene determinante exactamente cero, no tiene inversa y posee número de condición infinito; la calculadora detecta este caso explícitamente. Usa esta herramienta siempre que necesites comprobar si una matriz pequeña se puede invertir numéricamente con seguridad, al enseñar análisis numérico básico, o como verificación rápida antes de resolver un sistema en una simulación mayor o en un flujo de machine learning.