Calculadora de número armónico

El número armónico n-ésimo es la suma finita H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n. Parece simple, pero aparece en una variedad sorprendentemente amplia de temas: teoría de números, análisis, diseño de algoritmos, combinatoria y probabilidad. Esta calculadora evalúa la serie directamente y te da la suma parcial exacta para un entero positivo n elegido. También puede mostrar una aproximación asintótica y, para valores pequeños, un desglose legible de los términos que forman la suma. Los números armónicos crecen muy lentamente. Aumentan sin cota a medida que n se hace mayor, pero el crecimiento es logarítmico en lugar de lineal. Eso significa que H_10 apenas supera 2.9, H_100 está alrededor de 5.19, e incluso H_1,000,000 solo ronda 14.39. Este crecimiento tan lento es una de las razones por las que los números armónicos aparecen en el análisis de complejidad. Muchos algoritmos, especialmente los que implican divisiones repetidas, comportamiento de montículos o expectativas tipo colector de cupones, producen fórmulas que contienen H_n o expresiones estrechamente relacionadas. Una aproximación clásica es H_n ≈ ln(n) + γ + 1/(2n), donde γ es la constante de Euler-Mascheroni. Esta estimación mejora conforme aumenta n y suele usarse cuando quieres intuición sin sumar todos los términos a mano. La calculadora muestra esa aproximación bajo demanda para que puedas comparar la suma parcial exacta con el modelo logarítmico. Para n moderados o grandes, la aproximación suele ser muy cercana. La opción de desglose de la suma es útil para enseñar, comprobar tareas y ver cómo se construye la serie. Para facilitar la lectura, la calculadora muestra explícitamente solo los primeros veinte términos y luego añade puntos suspensivos si n es mayor. Así se mantiene la salida práctica sin perder claridad sobre la estructura de la serie. Como los números armónicos se definen aquí solo para enteros positivos, la calculadora rechaza cero, valores negativos y no enteros. También limita n para que el cálculo en el navegador siga siendo ágil. Si necesitas estimar el comportamiento para n muy grandes, la aproximación suele ser la cantidad más informativa de todas. Ya sea que estudies análisis asintótico, valores esperados o series clásicas, el número armónico es un objeto pequeño con un alcance matemático enorme.