Calculadora de longitud de espiral

Una espiral de Arquímedes es una curva polar cuyo radio cambia a un ritmo constante al variar el ángulo. Su ecuación es r = a + bθ, donde a es el radio en el ángulo cero, b es el crecimiento radial por radián y θ es el ángulo en radianes. Por tanto, incrementos angulares iguales producen cambios iguales de radio, manteniendo una separación constante entre vueltas vecinas. Esta conocida espiral aparece en materiales enrollados, ranuras, bobinas, antenas y modelos matemáticos. Una espiral logarítmica utiliza, en cambio, r = a por e elevado a bθ. Su radio cambia en una proporción constante para incrementos angulares iguales, de modo que la separación entre vueltas crece geométricamente y no aritméticamente. Las espirales logarítmicas aparecen en modelos de crecimiento, diseños de antenas y formas naturales. Esta calculadora admite ambas familias y aplica la primitiva exacta correspondiente a la ecuación elegida. Para hallar la longitud de una espiral no basta con multiplicar un radio medio por un ángulo, ya que la curva se desplaza alrededor del origen y radialmente al mismo tiempo. En una curva polar, el integrando de longitud de arco es la raíz cuadrada de la suma de r al cuadrado y el cuadrado de su derivada respecto de θ. En una espiral de Arquímedes, la derivada es simplemente b. En una logarítmica, es b por el radio actual, lo que da una fórmula exponencial compacta para la longitud. El cálculo evalúa expresiones cerradas en lugar de dividir la curva en muchos segmentos rectos cortos. Cuando b es cero, ambas espirales tienen radio constante y se convierten en arcos de circunferencia; se usa entonces la fórmula más sencilla de radio por amplitud angular. Los ángulos introducidos en grados se convierten a radianes antes de aplicar cualquier fórmula. El radio inicial y el crecimiento deben interpretarse según el modelo seleccionado. El crecimiento de Arquímedes tiene unidades de longitud por radián, mientras que el factor exponencial logarítmico es adimensional. La longitud obtenida usa la unidad del radio inicial. Un crecimiento negativo describe una espiral que se enrolla hacia dentro al aumentar el ángulo, y la longitud sigue siendo no negativa. Las bobinas reales tienen espesor, deformaciones y tolerancias que un modelo ideal de línea central no contempla. Para planificar la longitud de material, usa el radio de la línea central de la tira o el alambre y añade un margen práctico. La visualización con seis decimales ofrece un resultado claro, mientras el cálculo interno mantiene la precisión doble estándar.