Calculadora de la ley de cosenos - Resuelve cualquier triángulo (SAS/SSS)
Resuelve cualquier triángulo con la ley de cosenos. Encuentra un lado faltante con SAS o un ángulo faltante con SSS.
Elige si quieres calcular un lado faltante (SAS) o un ángulo faltante (SSS), introduce los valores conocidos y obtén el resultado al instante.
Calculadora de la ley de cosenos - Resuelve cualquier triángulo (SAS/SSS)
Resuelve cualquier triángulo con la ley de cosenos. Encuentra un lado faltante con SAS o un ángulo faltante con SSS.
Ejemplos de la ley de cosenos
Cuatro escenarios típicos que cubren configuraciones SAS y SSS, incluido un triángulo obtuso.
| Valores conocidos | Resultado | Configuración |
|---|---|---|
| a=5, b=7, C=45° (SAS) | c ≈ 4.950 | c² = 25 + 49 − 2(5)(7)cos(45°) = 74 − 49.497 ≈ 24.503, c ≈ 4.950. |
| a=8, b=6, c=10 (SSS) | C = 90° | cos(C) = (64+36−100)/(2×48) = 0/96 = 0, así que C = arccos(0) = 90° (triángulo rectángulo). |
| a=10, b=12, C=120° (SAS, obtuse) | c ≈ 19.08 | c² = 100+144−2(10)(12)cos(120°) = 244+120 = 364, c = √364 ≈ 19.08. |
| a=9, b=9, c=6 (SSS, isosceles) | C ≈ 38.94° | cos(C) = (81+81−36)/(2×81) = 126/162 ≈ 0.7778, C = arccos(0.7778) ≈ 38.94°. |
Acerca de la calculadora de la ley de cosenos
La ley de cosenos es un teorema fundamental de la trigonometría que generaliza el teorema de Pitágoras para cualquier triángulo, no solo para los rectángulos. Dado un triángulo con lados a, b y c opuestos a los ángulos A, B y C respectivamente, la ley establece: c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C). Cuando C = 90°, cos(C) = 0 y la fórmula se reduce al conocido teorema de Pitágoras c² = a² + b².
La ley de cosenos se usa en dos configuraciones principales. En la configuración lado-ángulo-lado (SAS), conoces dos lados y el ángulo comprendido entre ellos y quieres hallar el tercer lado. En la configuración lado-lado-lado (SSS), conoces los tres lados y quieres hallar uno de los ángulos. Reordenando la fórmula, el caso SSS queda como: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab), y C = arccos de ese valor.
La ley de cosenos está estrechamente relacionada con la ley de senos, pero se aplica en situaciones en las que la ley de senos no puede usarse directamente. En concreto, la ley de senos requiere dos ángulos y un lado (AAS/ASA) o dos lados y un ángulo no comprendido (SSA, que tiene el caso ambiguo). La ley de cosenos resuelve SAS y SSS de forma limpia, con una solución única en cada caso (suponiendo que los datos definan un triángulo real).
Sus aplicaciones prácticas son abundantes en topografía, navegación, arquitectura, ingeniería y física. Los topógrafos usan la ley de cosenos para calcular distancias entre puntos cuando la medición directa está obstruida. El software de navegación calcula el rumbo y la distancia entre dos coordenadas GPS usando versiones esféricas de la misma fórmula. Los ingenieros estructurales calculan fuerzas en elementos de cerchas que dependen de la geometría triangular. Los flujos de gráficos por computadora usan la regla del coseno para determinar ángulos entre aristas de una malla.
En un triángulo obtuso, un ángulo supera los 90° y su coseno es negativo, lo que hace que c² > a² + b². La ley de cosenos maneja esto sin problemas porque la fórmula admite valores positivos y negativos del coseno. Esta es una ventaja frente a métodos más simples que asumen ángulos rectos.
Esta calculadora maneja tanto los casos SAS como SSS. Para SAS, introduce los lados a y b y el ángulo comprendido C; la herramienta calcula el lado c. Para SSS, introduce los tres lados a, b y c; la herramienta calcula el ángulo C. Los resultados se muestran con la fórmula utilizada para que puedas verificar el cálculo manualmente.
Cómo usar la calculadora de la ley de cosenos
- Elige el modo de cálculo: “Calcular lado (SAS)” si conoces dos lados y el ángulo entre ellos, o “Calcular ángulo (SSS)” si conoces los tres lados.
- Para SAS, introduce las longitudes de los lados a y b y el ángulo comprendido C (en grados).
- Para SSS, introduce las longitudes de los tres lados a, b y c.
- Haz clic en Calcular. La herramienta aplica la fórmula de la ley de cosenos y muestra el lado o ángulo faltante.
- Haz clic en Restablecer para borrar todos los campos y resolver otro triángulo.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la ley de cosenos?
La ley de cosenos establece que, para cualquier triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos A, B, C: c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C). Extiende el teorema de Pitágoras a triángulos no rectángulos, donde el término del coseno corrige la desviación respecto de un ángulo recto. Cuando C = 90°, cos(C) = 0 y se recupera el teorema de Pitágoras.
¿Cuándo debo usar la ley de cosenos en lugar de la ley de senos?
Usa la ley de cosenos cuando tengas la configuración SAS (dos lados y el ángulo comprendido) o SSS (tres lados). La ley de senos es preferible para los casos AAS y ASA. En SSA, la ley de senos funciona pero introduce el caso ambiguo; la ley de cosenos evita la ambigüedad al resolver una cuadrática, aunque una solución puede ser espuria.
¿Puede la ley de cosenos manejar triángulos obtusos?
Sí. En un triángulo obtuso, el ángulo mayor que 90° tiene coseno negativo. La fórmula c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C) sigue siendo válida; el coseno negativo hace que c² sea mayor que a² + b², reflejando correctamente que c es el lado más largo opuesto al ángulo obtuso.
¿Cómo encuentro todos los ángulos de un triángulo a partir de tres lados?
Aplica la ley de cosenos tres veces con diferentes asignaciones de letras. Primero halla C = arccos((a²+b²−c²)/(2ab)), luego B = arccos((a²+c²−b²)/(2ac)) y finalmente A = 180° − B − C. Alternativamente, una vez conocidos dos ángulos, el tercero se obtiene por la suma de ángulos.
¿Qué pasa si los datos no forman un triángulo válido?
Para SSS, debe cumplirse la desigualdad triangular: cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos. Si se viola, no hay triángulo válido y la fórmula produce |cos(C)| > 1, lo que no tiene arccos real. Esta calculadora detecta ese caso y muestra un mensaje de error.
¿La ley de cosenos es lo mismo que la regla del coseno?
Sí. La ley de cosenos y la regla del coseno son dos nombres para el mismo teorema. “Regla del coseno” es común en contextos educativos británicos, mientras que “ley de cosenos” es más habitual en libros de texto estadounidenses. La fórmula y sus aplicaciones son idénticas.